1.次の関数の導関数を定義に従って求めなさい。
(1)\(f(x)=3x\)
\(\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ =\lim_{h \to 0}\frac{3h}{h}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ =\lim_{h \to 0}3\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =3\)
(2)\(f(x)=-x^2\)
\(\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ =\lim_{h \to 0}\frac{-h^2-2hx}{h}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ =\lim_{h \to 0}(-h-2x)\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =-2x\)
(3)\(f(x)=x^2-x\)
\(\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ =\lim_{h \to 0}\frac{h^2+2hx-h}{h}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ =\lim_{h \to 0}(h+2x-1)\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =2x-1\)
(4)\(f(x)=x^2+3x\)
\(\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ =\lim_{h \to 0}\frac{h^2+2hx+3h}{h}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ =\lim_{h \to 0}(h+2x+3)\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =2x+3\)
2.次の関数を微分しなさい。
(1)\(y=4x^3-2x^2-5x\)
\(y'=12x^2-4x-5\)
(2)\(\displaystyle y=-\frac{1}{2}x^3+\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{4}\)
\(\displaystyle y'=-\frac{3}{2}x^2+3x\)
(3)\(y=x(x+2)(x-2)\)
\(y=x^3-4x\)
\(y'=3x^2-4\)
(4)\(y=3(x^2-2)^2\)
\(y=3x^4-12x^2+12\)
\(y'=12x^3-24x\)
(5)\(y=x^3+2x^2-5x-3\)
\(y'=3x^2+4x-5\)
(6)\(y=(x-1)(x+2)^2\)
\(y=x^3+3x^2-4\)
\(y'=3x^2+6x\)
(7)\(y=x^3-3x^2-3x-6\)
\(y'=3x^2-6x-3\)
(8)\(y=(x+2)(x-4)^2\)
\(y=x^3-6x^2+32\)
\(y'=3x^2-12x\)
3.次の関数について、\(x=-2\)における微分係数を求めなさい。
(1)\(f(x)=x^2+x\)
\(f'(x)=2x+1\)
\(f'(-2)=-3\)
(2)\(f(x)=-x^3+2x^2+3\)
\(f'(x)=-3x^2+4x\)
\(f'(-2)=-20\)
4.次の関数について、\(x=-3\)における微分係数を求めなさい。
(1)\(f(x)=2x^2+4x\)
\(f'(x)=4x+4\)
\(f'(-3)=-8\)
(2)\(f(x)=x^3+4x^2+x+2\)
\(f'(x)=3x^2+8x+1\)
\(f'(-3)=4\)
5.二次関数\(f(x)\)が次の条件を満たすとき、\(f(x)\)を求めなさい。
\(f'(0)=-3,f'(1)=1,f(0)=2\)
\(f(x)=ax^2+bx+c\)とおくと、
\(f'(x)=2ax+b\)
\(f'(0)=-3\)より、
\(b=-3\)・・・(1)
\(f'(1)=1\)より、
\(2a+b=1\)・・・(2)
\(f(0)=2\)より、
\(c=2\)・・・(3)
(1),(2),(3)より
\(a=2,b=-3,c=2\)
よって、
\(f(x)=2x^2-3x+2\)