導関数の定義
【導関数の定義】
関数\(f(x)\)の導関数\(f'(x)\)は\(\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
関数\(f(x)\)の導関数\(f'(x)\)を求めることを\(f(x)\)を\(x\)について微分するという。
【例題】次の関数の導関数を定義に従って求めなさい。
(1)\(f(x)=3x+1\)
\(\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ =\lim_{h \to 0}\frac{3h}{h}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ =\lim_{h \to 0}3\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =3\)
(2)\(f(x)=2x^2\)
\(\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ =\lim_{h \to 0}\frac{2h^2+4hx}{h}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ =\lim_{h \to 0}(2h+4x)\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =4x\)
微分の計算
【微分の計算】
(1)\((x^n)'=nx^{n-1}\)(2)\((c)'=0\)
【微分の性質】
(1)\(\{kf(x)\}'=kf'(x)\)(2)\(\{f(x)+g(x)\}'=f'(x)+g'(x)\)
(3)\(\{f(x)-g(x)\}'=f'(x)-g'(x)\)
【例題】次の関数を微分しなさい。
(1)\(y=x^2\)
\(y'=2x\)
(2)\(y=x^3\)
\(y'=3x^2\)
(3)\(y=5\)
\(y'=0\)
(4)\(y=3x^2+2x-5\)
\(y'=6x+2\)
(5)\(y=-x^2+5x-8\)
\(y'=-2x+5\)
(6)\(y=x^3-4x^2-8x-2\)
\(y'=3x^2-8x-8\)
(7)\(\displaystyle y=\frac{2}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2-\frac{1}{2}x+1\)
\(\displaystyle y'=2x^2+3x-\frac{1}{2}\)
(8)\(y=(x-3)(x+5)\)
\(y=x^2+2x-15\)
\(y'=2x+2\)
(9)\(y=3x(x-2)^2\)
\(y=3x^3-12x^2+12x\)
\(y'=9x^2-24x+12\)