1.関数\(y=2x^2-4x+3\)のグラフ上に点\(A(2,3)\)がある。
(1)点\(A\)における接線の傾きを求めなさい。
\(y'=4x-4\)
よって、傾きは
\(4・2-4=4\)
(2)点\(A\)における接線の方程式を求めなさい。
導関数は\(y'=4x-4\)
よって、接線方程式は
\(y-3=4(x-2)\)
\(y=4x-5\)
2.次の曲線の接線方程式を求めなさい。
(1)\(y=x^3-4x\)上の点\((2,0)\)を通る接線
導関数は\(y'=3x^2-4\)
よって、接線方程式は
\(y-0=(3・2^2-4)(x-2)\)
\(y=8x-16\)
(2)\(y=x^3+x^2\)上の点\((1,2)\)を通る接線
導関数は\(y'=3x^2+2x\)
よって、接線方程式は
\(y-2=(3・1^2+2・1)(x-1)\)
\(y=5x-3\)
3.次の点から曲線のグラフに引いた接線方程式を求めなさい。。
(1)原点\(O\)から\(y=x^2-2x+4\)のグラフに引いた接線方程式
導関数は\(y'=2x-2\)
接点の座標を\((a,a^2-2a+4)\)とすると、
接線の傾きは\(2a-2\)となる。
接線方程式は
\(y-(a^2-2a+4)=(2a-2)(x-a)\)
\(y=(2a-2)x-a^2+4\)
この直線が\((0,0)\)を通るので、
\(0=-a^2+4\)
\(a^2-4=0\)
\((a+2)(a-2)=0\)
\(a=-2,2\)
よって、接線方程式は
\(y=-6x,y=2x\)
(2)点\((2,-2)\)から\(y=x^2-x\)のグラフに引いた接線方程式
導関数は\(y'=2x-1\)
接点の座標を\((a,a^2-a)\)とすると、
接線の傾きは\(2a-1\)となる。
接線方程式は
\(y-(a^2-a)=(2a-1)(x-a)\)
\(y=(2a-1)x-a^2\)
この直線が\((2,-2)\)を通るので、
\(-2=2(2a-1)-a^2\)
\(a^2-4a=0\)
\(a(a-4)=0\)
\(a=0,4\)
よって、接線方程式は
\(y=-x,y=7x-16\)
(3)点\((1,-1)\)から\(y=x^2+2x\)のグラフに引いた接線方程式
導関数は\(y'=2x+2\)
接点の座標を\((a,a^2+2a)\)とすると、
接線の傾きは\(2a+2\)となる。
接線方程式は
\(y-(a^2+2a)=(2a+2)(x-a)\)
\(y=(2a+2)x-a^2\)
この直線が\((1,-1)\)を通るので、
\(-1=(2a+2)-a^2\)
\(a^2-2a-3=0\)
\((a+1)(a-3)=0\)
\(a=-1,3\)
よって、接線方程式は
\(y=-1,y=8x-9\)