【高校数学Ⅱ】6-2-1 関数の極大・極小｜問題集
1.次の関数の増減と極値を調べ、グラフをかきなさい。
(1)\(y=x^3-6x^2+9x\)
\(y=x(x^2-6x+9)\)
\(\ \ =x(x-3)^2\)
\(y'=3x^2-12x+9\)
\(\ \ \ =3(x-1)(x-3)\)
増減表にまとめると、
したがって、
\(x=1\)のとき、極大値\(4\)
\(x=3\)のとき、極小値\(0\)
\(\ \ =x(x-3)^2\)
\(y'=3x^2-12x+9\)
\(\ \ \ =3(x-1)(x-3)\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(\cdots\) | \(1\) | \(\cdots\) | \(3\) | \(\cdots\) |
| \(y'\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(y\) | \(\nearrow\) | \(4\) | \(\searrow\) | \(0\) | \(\nearrow\) |
したがって、
\(x=1\)のとき、極大値\(4\)
\(x=3\)のとき、極小値\(0\)
(2)\(y=-x^3+3x^2+1\)
\(y'=-3x^2+6x\)
\(\ \ \ =-3x(x-2)\)
増減表にまとめると、
したがって、
\(x=2\)のとき、極大値\(5\)
\(x=0\)のとき、極小値\(1\)
\(\ \ \ =-3x(x-2)\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(\cdots\) | \(0\) | \(\cdots\) | \(2\) | \(\cdots\) |
| \(y'\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
| \(y\) | \(\searrow\) | \(1\) | \(\nearrow\) | \(5\) | \(\searrow\) |
したがって、
\(x=2\)のとき、極大値\(5\)
\(x=0\)のとき、極小値\(1\)
(3)\(y=x^3-3x^2+3x+5\)
\(y'=3x^2-6x+3\)
\(\ \ \ =3(x-1)^2\)
増減表にまとめると、
したがって、極値なし
\(\ \ \ =3(x-1)^2\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(\cdots\) | \(1\) | \(\cdots\) |
| \(y'\) | \(+\) | \(0\) | \(+\) |
| \(y\) | \(\nearrow\) | \(6\) | \(\nearrow\) |
したがって、極値なし
(4)\(y=x^4-8x^2+2\)
\(y'=4x^3-16x\)
\(\ \ \ =4x(x^2-4)\)
\(\ \ \ =4x(x+2)(x-2)\)
増減表にまとめると、
したがって、
\(x=0\)のとき、極大値\(2\)
\(x=\pm2\)のとき、極小値\(-14\)
\(\ \ \ =4x(x^2-4)\)
\(\ \ \ =4x(x+2)(x-2)\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(\cdots\) | \(-2\) | \(\cdots\) | \(0\) | \(\cdots\) | \(2\) | \(\cdots\) |
| \(y'\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(y\) | \(\searrow\) | \(-14\) | \(\nearrow\) | \(2\) | \(\searrow\) | \(-14\) | \(\nearrow\) |
したがって、
\(x=0\)のとき、極大値\(2\)
\(x=\pm2\)のとき、極小値\(-14\)
(5)\(y=3x^4-4x^3-12\)
\(y'=12x^3-12x^2\)
\(\ \ \ =12x^2(x-1)\)
増減表にまとめると、
したがって、
極大値なし
\(x=1\)のとき、極小値\(-13\)
\(\ \ \ =12x^2(x-1)\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(\cdots\) | \(0\) | \(\cdots\) | \(1\) | \(\cdots\) |
| \(y'\) | \(-\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(y\) | \(\searrow\) | \(-12\) | \(\searrow\) | \(-13\) | \(\nearrow\) |
したがって、
極大値なし
\(x=1\)のとき、極小値\(-13\)
2.次の関数の定数\(a,b\)と極大値、極小値を求めなさい。
(1)\(f(x)=ax^3+bx^2-3x-1\)が\(x=-1\)で極大値、\(x=3\)で極小値
\(f'(x)=3ax^2+2bx-3\)
\(x=-1\)で極大となるので、\(f'(-1)=0\)
\(3a-2b-3=0\)
\(x=3\)で極小となるので、\(f'(3)=0\)
\(27a+6b-3=0\)
これを解くと
\(\displaystyle a=\frac{1}{3},b=-1\)
すなわち、
\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2-3x-1\)
\(f'(x)=x^2-2x-3\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =(x+1)(x-3)\)
増減表にまとめると、
よって、
\(\displaystyle a=\frac{1}{3},b=-1\)
\(x=-1\)のとき、極大値\(\displaystyle \frac{2}{3}\)
\(x=3\)のとき、極小値\(-10\)
\(x=-1\)で極大となるので、\(f'(-1)=0\)
\(3a-2b-3=0\)
\(x=3\)で極小となるので、\(f'(3)=0\)
\(27a+6b-3=0\)
これを解くと
\(\displaystyle a=\frac{1}{3},b=-1\)
すなわち、
\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2-3x-1\)
\(f'(x)=x^2-2x-3\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =(x+1)(x-3)\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(\cdots\) | \(-1\) | \(\cdots\) | \(3\) | \(\cdots\) |
| \(y'\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(y\) | \(\nearrow\) | \(\displaystyle \frac{2}{3}\) | \(\searrow\) | \(-10\) | \(\nearrow\) |
よって、
\(\displaystyle a=\frac{1}{3},b=-1\)
\(x=-1\)のとき、極大値\(\displaystyle \frac{2}{3}\)
\(x=3\)のとき、極小値\(-10\)
(2)\(f(x)=-x^3+ax^2+bx+1\)が\(\displaystyle x=-\frac{1}{3}\)で極小値、\(x=1\)で極大値
\(f'(x)=-3x^2+2ax+b\)
\(\displaystyle x=-\frac{1}{3}\)で極小となるので、\(\displaystyle f'\left(-\frac{1}{3}\right)=0\)
\(\displaystyle -\frac{2}{3}a+b-\frac{1}{3}=0\)
\(x=1\)で極大となるので、\(f'(1)=0\)
\(2a+b-3=0\)
これを解くと
\(a=1,b=1\)
すなわち、
\(f(x)=-x^3+x^2+x+1\)
\(f'(x)=-3x^2+2x+1\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =-(3x+1)(x-1)\)
増減表にまとめると、
よって、
\(a=1,b=1\)
\(x=1\)のとき、極大値\(2\)
\(\displaystyle x=-\frac{1}{3}\)のとき、極小値\(\displaystyle \frac{22}{27}\)
\(\displaystyle x=-\frac{1}{3}\)で極小となるので、\(\displaystyle f'\left(-\frac{1}{3}\right)=0\)
\(\displaystyle -\frac{2}{3}a+b-\frac{1}{3}=0\)
\(x=1\)で極大となるので、\(f'(1)=0\)
\(2a+b-3=0\)
これを解くと
\(a=1,b=1\)
すなわち、
\(f(x)=-x^3+x^2+x+1\)
\(f'(x)=-3x^2+2x+1\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ =-(3x+1)(x-1)\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(\cdots\) | \(\displaystyle -\frac{1}{3}\) | \(\cdots\) | \(1\) | \(\cdots\) |
| \(y'\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
| \(y\) | \(\searrow\) | \(\displaystyle \frac{22}{27}\) | \(\nearrow\) | \(2\) | \(\searrow\) |
よって、
\(a=1,b=1\)
\(x=1\)のとき、極大値\(2\)
\(\displaystyle x=-\frac{1}{3}\)のとき、極小値\(\displaystyle \frac{22}{27}\)
3.次の関数が極値をもつとき、\(a\)の範囲を求めなさい。
(1)\(f(x)=x^3+ax^2+ax\)
\(f'(x)=3x^2+2ax+a\)
極値を持つので、\(D>0\)
\((2a)^2-4・3a>0\)
\(4a(a-3)>0\)
\(a< 0,3< a\)
極値を持つので、\(D>0\)
\((2a)^2-4・3a>0\)
\(4a(a-3)>0\)
\(a< 0,3< a\)
(2)\(f(x)=-x^3+x^2-3ax+2\)
\(f'(x)=-3x^2+2x-3a\)
極値を持つので、\(D>0\)
\(2^2-4・(-3)・(-3a)>0\)
\(4-36a>0\)
\(\displaystyle a<\frac{1}{9}\)
極値を持つので、\(D>0\)
\(2^2-4・(-3)・(-3a)>0\)
\(4-36a>0\)
\(\displaystyle a<\frac{1}{9}\)
4.次の関数が極値をもたないとき、\(a\)の範囲を求めなさい。
(1)\(f(x)=-x^3+3ax^2+ax\)
\(f'(x)=-3x^2+6ax+a\)
極値を持たないので、\(D\leqq0\)
\((6a)^2-4・(-3)・a\leqq0\)
\(12a(3a+1)\leqq0\)
\(\displaystyle -\frac{1}{3}\leqq a\leqq0\)
極値を持たないので、\(D\leqq0\)
\((6a)^2-4・(-3)・a\leqq0\)
\(12a(3a+1)\leqq0\)
\(\displaystyle -\frac{1}{3}\leqq a\leqq0\)
(2)\(f(x)=x^3+2ax^2+3x-4\)
\(f'(x)=3x^2+4ax+3\)
極値を持たないので、\(D\leqq0\)
\((4a)^2-4・3・3\leqq0\)
\(4(2a+3)(2a-3)\leqq0\)
\(\displaystyle -\frac{3}{2}\leqq a\leqq\frac{3}{2}\)
極値を持たないので、\(D\leqq0\)
\((4a)^2-4・3・3\leqq0\)
\(4(2a+3)(2a-3)\leqq0\)
\(\displaystyle -\frac{3}{2}\leqq a\leqq\frac{3}{2}\)
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