不定積分
【不定積分】
微分すると\(f(x)\)になる関数\(F(x)\)を原始関数という。\(f(x)\)の原始関数は\(F(x)+C\)と表すことができる。これを\(\displaystyle \int f(x)dx\)で表し、\(f(x)\)の不定積分という。
\(F'(x)=f(x)\)のとき、
\(\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C\)
ただし、\(C\)は積分定数
\(f(x)\)の不定積分を求めることを積分するという。
【積分の計算】
\(\displaystyle \int x^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C\)【積分の性質】
(1)\(\displaystyle \int kf(x)dx=k\int f(x)dx\)(2)\(\displaystyle \int \{f(x)+g(x)\}dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx\)
(3)\(\displaystyle \int \{f(x)-g(x)\}dx=\int f(x)dx-\int g(x)dx\)
【例題】次の不定積分を求めなさい。
(1)\(\displaystyle \int 6x^2dx\)
\(\displaystyle =6・\frac{1}{3}x^3+C\)
\(\displaystyle =2x^3+C\ \ \)(\(C\)は積分定数)
(2)\(\displaystyle \int(4x^2+8x)dx\)
\(\displaystyle =4・\frac{1}{3}x^3+8・\frac{1}{2}x^2+C\)
\(\displaystyle =\frac{4}{3}x^3+4x^2+C\ \ \)(\(C\)は積分定数)
(3)\(\displaystyle \int(2x^2-1)dx\)
\(\displaystyle =2・\frac{1}{3}x^3-x+C\)
\(\displaystyle =\frac{2}{3}x^3-x+C\ \ \)(\(C\)は積分定数)
積分定数の決定
【例題】\(f'(x)=3(x+2)^2,f(1)=2\)の条件をみたす関数\(f(x)\)を求めなさい。
\(\displaystyle f(x)=\int3(x+2)^2dx\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ =\int(3x^2+12x+12)dx\)
\(\ \ \ \ \ \ \ =x^3+6x^2+12x+C\)
\(f(1)=2\)より、
\(2=3+6+12+C\)
\(C=-17\)
よって、
\(f(x)=x^3+6x^2+12x-17\)