1-1-2 場合の数(要点)

【和の法則】

2つの事柄\(A,B\)があり、\(A\)である場合が\(a\)通り、\(B\)である場合が\(b\)通りある。\(A\)と\(B\)は同時に起こらないとき、\(A\)または\(B\)である場合は、\(a+b\)通りである。

【積の法則】

2つの事柄\(A,B\)があり、\(A\)である場合が\(a\)通り、\(A\)であるそれぞれの場合に対して\(B\)である場合が\(b\)通りある。このとき、\(A\)かつ\(B\)である場合は、\(a\times b\)通りである。

【例題】次の問いに答えなさい。

(1)大小\(2\)個のさいころを同時に投げるとき、目の数の和が\(10\)以上となる場合は何通りか答えなさい。

・目の数の和が\(10\)のとき、\((4,6), (5,5), (6,4)\)の\(3\)通り
・目の数の和が\(11\)のとき、\((5,6), (6,5)\)の\(2\)通り
・目の数の和が\(12\)のとき、\((6,6)\)の\(1\)通り
和の法則より、\(6\)通り

(2)\(2\)つのさいころ\(A,B\)を同時に投げるとき、\(A\)の目が奇数で\(B\)の目が\(5\)以上である場合は何通りか答えなさい。

・\(A\)の目の数が奇数のとき、\(1,3,5\)の\(3\)通り
・\(B\)の目が\(5\)以上であるとき、\(5,6\)の\(2\)通り
積の法則より、\(6\)通り

【約数の個数と総和】

自然数\(N\)を素因数分解すると\(N=p^aq^br^c\)であるとき、\(N\)の約数の個数、総和は次のようになる。

正の約数の個数:\((a+1)(b+1)(c+1)\)
正の約数の総和:\((1+p+・・・+p^a)(1+q+・・・+q^b)(1+r+・・・+r^c)\)

【例題】次の問いに答えなさい。

(1)\(200\)の正の約数の個数を求めなさい。

\(200\)を素因数分解すると、
\(200=2^3\times5^2\)
よって、求める正の約数の個数は
\((3+1)\times(2+1)=12\)

(2)\(200\)の正の約数の和を求めなさい。

\(200\)を素因数分解すると、
\(200=2^3\times5^2\)
よって、求める正の約数の和は
\((1+2+2^2+2^3)\times(1+5+5^2)=465\)