【高校数学A】1-1-3 順列｜問題集
1.次の計算をしなさい。
(1)\({}_5\mathrm{P}_2\)
\(=5・4\)
\(=20\)
\(=20\)
(2)\({}_8\mathrm{P}_4\)
\(=8・7・6・5\)
\(=1680\)
\(=1680\)
(3)\({}_3\mathrm{P}_1\)
\(=3\)
(4)\(6!\)
\(=6・5・4・3・2・1\)
\(=720\)
\(=720\)
2.次の総数を求めなさい。
(1)\(10\)人の生徒から\(3\)人を選んで一列に並べるときの並べ方
\({}_{10}\mathrm{P}_3=10・9・8\)
\(\ \ \ \ \ \ =720\)(通り)
\(\ \ \ \ \ \ =720\)(通り)
(2)\(1\)から\(6\)までの数字から異なる\(4\)個を選んで作る整数
\({}_6\mathrm{P}_4=6・5・4・3\)
\(\ \ \ \ \ =360\)(通り)
\(\ \ \ \ \ =360\)(通り)
(3)\(1\)から\(5\)までの自然数を全て選んで作る整数
\(5!=5・4・3・2・1\)
\(\ \ \ =120\)(通り)
\(\ \ \ =120\)(通り)
(4)\(a,b,c,d,e,f,g\)の\(7\)文字を全て選んで一列に並べるときの並べ方
\(7!=7・6・5・4・3・2・1\)
\(\ \ \ =5040\)(通り)
\(\ \ \ =5040\)(通り)
3.\(a,b,c,d,e\)の\(5\)文字がある。
(1)\(5\)文字全てを一列に並べるとき、\(a\)と\(b\)が隣り合う並べ方は何通りあるか求めなさい。
\(a,b\)をひとまとめにして\(1\)文字として考えると、並べ方は\(4!\)通り
ひとまとめにした\(2\)文字の並べ方は\(2!\)通り
よって、
\(4!\times2!\)
\(=4・3・2・1・2・1\)
\(=48\)(通り)
ひとまとめにした\(2\)文字の並べ方は\(2!\)通り
よって、
\(4!\times2!\)
\(=4・3・2・1・2・1\)
\(=48\)(通り)
(2)\(5\)文字全てを一列に並べるとき、\(a\)と\(b\)が両端にする並べ方は何通りあるか求めなさい。
\(a,b\)が両端にくる並べ方は\(2!\)通り
残り\(3\)人の並べ方は\(3!\)通り
よって、
\(2!\times3!\)
\(=2・1・3・2・1\)
\(=12\)(通り)
残り\(3\)人の並べ方は\(3!\)通り
よって、
\(2!\times3!\)
\(=2・1・3・2・1\)
\(=12\)(通り)
(3)\(5\)文字全てを一列に並べるとき、両端が子音である並べ方は何通りあるか求めなさい。
子音は\(b,c,d\)なので、両端の並べ方は\({}_3\mathrm{P}_2\)通り
残り\(3\)人の並べ方は\(3!\)通り
よって、
\({}_3\mathrm{P}_2\times3!\)
\(=3・2・3・2・1\)
\(=36\)(通り)
残り\(3\)人の並べ方は\(3!\)通り
よって、
\({}_3\mathrm{P}_2\times3!\)
\(=3・2・3・2・1\)
\(=36\)(通り)
(4)\(5\)文字全てを一列に並べるとき、\(a\)と\(c\)が隣り合わない並べ方は何通りあるか求めなさい。
\(a,c\)が隣り合う並べ方は\(2!\times4!=48\)通り
全ての並べ方は\(5!=120\)通り
よって、\(a,c\)が隣り合わない並べ方は
\(120-48=72\)(通り)
全ての並べ方は\(5!=120\)通り
よって、\(a,c\)が隣り合わない並べ方は
\(120-48=72\)(通り)
4.男子\(3\)人、女子\(3\)人が一列に並ぶ。
(1)女子\(3\)人が隣り合う並べ方は何通りあるか求めなさい。
女子\(3\)人をひとまとめにして\(4\)人として考えると、並べ方は\(4!\)通り
女子\(3\)人の並べ方は\(3!\)通り
よって、
\(4!\times3!\)
\(=4・3・2・1・3・2・1\)
\(=144\)(通り)
女子\(3\)人の並べ方は\(3!\)通り
よって、
\(4!\times3!\)
\(=4・3・2・1・3・2・1\)
\(=144\)(通り)
(2)男子が両端にくる並べ方は何通りあるか求めなさい。
男子が両端にくる並べ方は\({}_3\mathrm{P}_2\)通り
残り\(4\)人の並べ方は\(4!\)通り
よって、
\({}_3\mathrm{P}_2\times4!\)
\(=3・2・4・3・2・1\)
\(=144\)(通り)
残り\(4\)人の並べ方は\(4!\)通り
よって、
\({}_3\mathrm{P}_2\times4!\)
\(=3・2・4・3・2・1\)
\(=144\)(通り)
5.男子\(4\)人、女子\(3\)人が一列に並ぶ。
(1)女子\(3\)人が隣り合う並べ方は何通りあるか求めなさい。
女子\(3\)人をひとまとめにして\(5\)人として考えると、並べ方は\(5!\)通り
女子\(3\)人の並べ方は\(3!\)通り
よって、
\(5!\times3!\)
\(=5・4・3・2・1・3・2・1\)
\(=720\)(通り)
女子\(3\)人の並べ方は\(3!\)通り
よって、
\(5!\times3!\)
\(=5・4・3・2・1・3・2・1\)
\(=720\)(通り)
(2)男子が両端にくる並べ方は何通りあるか求めなさい。
男子が両端にくる並べ方は\({}_4\mathrm{P}_2\)通り
残り\(5\)人の並べ方は\(5!\)通り
よって、
\({}_4\mathrm{P}_2\times5!\)
\(=4・3・5・4・3・2・1\)
\(=1440\)(通り)
残り\(5\)人の並べ方は\(5!\)通り
よって、
\({}_4\mathrm{P}_2\times5!\)
\(=4・3・5・4・3・2・1\)
\(=1440\)(通り)
6.\(0,1,2,3,4\)の整数がある。
(1)異なる\(3\)文字を使って\(3\)桁の整数を作るとき、何通りあるか求めなさい。
百の位は\(0\)以外なので、\(4\)通り
十の位、一の位は\({}_4\mathrm{P}_2\)通り
よって、
\(4\times{}_4\mathrm{P}_2\)
\(=4・4・3\)
\(=48\)(通り)
十の位、一の位は\({}_4\mathrm{P}_2\)通り
よって、
\(4\times{}_4\mathrm{P}_2\)
\(=4・4・3\)
\(=48\)(通り)
(2)異なる\(4\)文字を使って\(4\)桁の整数を作るとき、何通りあるか求めなさい。
千の位は\(0\)以外なので、\(4\)通り
百の位、十の位、一の位は\({}_4\mathrm{P}_3\)通り
よって、
\(4\times{}_4\mathrm{P}_3\)
\(=4・4・3・2\)
\(=96\)(通り)
百の位、十の位、一の位は\({}_4\mathrm{P}_3\)通り
よって、
\(4\times{}_4\mathrm{P}_3\)
\(=4・4・3・2\)
\(=96\)(通り)
(3)異なる\(4\)文字を使って\(4\)桁の奇数を作るとき、何通りあるか求めなさい。
一の位は\(1,3\)なので、\(2\)通り
千の位は\(0\)以外なので、\(3\)通り
百の位、十の位は\({}_3\mathrm{P}_2\)通り
よって、
\(2\times3\times{}_3\mathrm{P}_2\)
\(=2・3・3・2\)
\(=36\)(通り)
千の位は\(0\)以外なので、\(3\)通り
百の位、十の位は\({}_3\mathrm{P}_2\)通り
よって、
\(2\times3\times{}_3\mathrm{P}_2\)
\(=2・3・3・2\)
\(=36\)(通り)
(4)異なる\(4\)文字を使って\(4\)桁の偶数を作るとき、何通りあるか求めなさい。
一の位が\(0\)のとき、\(1\times{}_4\mathrm{P}_3\)なので、\(24\)通り
一の位が\(2,4\)のとき、\(2\times3\times{}_3\mathrm{P}_2\)なので、\(36\)通り
よって、
\(24+36=60\)(通り)
一の位が\(2,4\)のとき、\(2\times3\times{}_3\mathrm{P}_2\)なので、\(36\)通り
よって、
\(24+36=60\)(通り)
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