【高校数学A】1-1-3 順列｜要点まとめ
このページでは、高校数学Aの「順列」について解説しています。階乗の記号と計算方法を整理し、文字の順列や数字の順列の解き方を例題を通して学べます。基礎の理解から応用問題まで体系的に学習できる内容となっており、定期テスト対策や入試準備にも役立ちます。
順列の基本と階乗の計算
【順列】
\(n\)個のものから\(r\)個を選び一列に並べたものを順列といい、\({}_n\mathrm{P}_r\)で表す。
\({}_n\mathrm{P}_r=n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)\)
【階乗】
\(1\)から\(n\)までの自然数の積を\(n\)の階乗といい、\(n!\)で表す。
\(n!={}_n\mathrm{P}_n\)
また、\(0!=1,{}_n\mathrm{P}_0=1\)と定める。
【例題】次の計算をしなさい。
(1)\({}_5\mathrm{P}_3\)
\(=5・4・3\)
\(=60\)
\(=60\)
(2)\({}_6\mathrm{P}_0\)
\(=1\)
(3)\({}_4\mathrm{P}_4\)
\(=4・3・2・1\)
\(=24\)
\(=24\)
(4)\(6!\)
\(=6・5・4・3・2・1\)
\(=720\)
\(=720\)
(5)\(0!\)
\(=1\)
(6)\(7!÷5!\)
\(=7・6\)
\(=42\)
\(=42\)
文字の順列の公式と例題
【例題】\(a,b,c,d,e\)の5文字がある。
(1)\(5\)文字全てを一列に並べるとき、何通りあるか求めなさい。
\(5!=5・4・3・2・1\)
\(\ \ \ =120\)(通り)
\(\ \ \ =120\)(通り)
(2)\(5\)文字全てを一列に並べるとき、両端が母音である並べ方は何通りあるか求めなさい。
母音は\(a,e\)なので、両端に\(a,e\)の並べ方は\(2!\)通り
残り\(3\)文字の並べ方は\(3!\)通り
よって、
\(2!\times3!\)
\(=2・1・3・2・1\)
\(=12\)(通り)
残り\(3\)文字の並べ方は\(3!\)通り
よって、
\(2!\times3!\)
\(=2・1・3・2・1\)
\(=12\)(通り)
(3)\(5\)文字全てを一列に並べるとき、\(a,b,c\)が続く並べ方は何通りあるか求めなさい。
\(a,b,c\)をひとまとめにして\(1\)文字として考えると、並べ方は\(3!\)通り
ひとまとめにした\(3\)文字の並べ方は\(3!\)通り
よって、
\(3!\times3!\)
\(=3・2・1・3・2・1\)
\(=36\)(通り)
ひとまとめにした\(3\)文字の並べ方は\(3!\)通り
よって、
\(3!\times3!\)
\(=3・2・1・3・2・1\)
\(=36\)(通り)
(4)\(5\)文字全てを一列に並べるとき、\(a\)と\(e\)の間に\(1\)文字だけ挟む並べ方は何通りあるか求めなさい。
\(a\)と\(e\)の並べ方は\(2!\)通り
\(a\)と\(e\)の間に入る文字は\(3\)通り
上記をひとまとめにした\(3\)文字の並べ方は\(3!\)通り
よって、
\(2!\times3\times3!\)
\(=2・1・3・3・2・1\)
\(=36\)(通り)
\(a\)と\(e\)の間に入る文字は\(3\)通り
上記をひとまとめにした\(3\)文字の並べ方は\(3!\)通り
よって、
\(2!\times3\times3!\)
\(=2・1・3・3・2・1\)
\(=36\)(通り)
(5)\(5\)文字全てを一列に並べるとき、\(a\)と\(b\)が隣り合わない並べ方は何通りあるか求めなさい。
\(a,b\)が隣り合う並べ方は\(2!\times4!=48\)通り
全ての並べ方は\(5!=120\)通り
よって、\(a,b\)が隣り合わない並べ方は
\(120-48=72\)(通り)
全ての並べ方は\(5!=120\)通り
よって、\(a,b\)が隣り合わない並べ方は
\(120-48=72\)(通り)
数字の順列の応用問題
【例題】\(0,1,2,3\)の4文字がある。
(1)異なる\(3\)文字を使って\(3\)桁の整数を作るとき、何通りあるか求めなさい。
百の位は\(0\)以外なので、\(3\)通り
十の位、一の位は\({}_3\mathrm{P}_2\)通り
よって、
\(3\times{}_3\mathrm{P}_2\)
\(=3・3・2\)
\(=18\)(通り)
十の位、一の位は\({}_3\mathrm{P}_2\)通り
よって、
\(3\times{}_3\mathrm{P}_2\)
\(=3・3・2\)
\(=18\)(通り)
(2)異なる\(3\)文字を使って\(3\)桁の整数を作るとき、奇数は何通りあるか求めなさい。
一の位は\(1,3\)なので、\(2\)通り
百の位は\(0\)以外なので、\(2\)通り
十の位は\(2\)通り
よって、
\(2\times2\times2\)
\(=2・2・2\)
\(=8\)(通り)
百の位は\(0\)以外なので、\(2\)通り
十の位は\(2\)通り
よって、
\(2\times2\times2\)
\(=2・2・2\)
\(=8\)(通り)
(3)異なる\(3\)文字を使って\(3\)桁の整数を作るとき、\(5\)の倍数は何通りあるか求めなさい。
一の位は\(0\)なので、\(1\)通り
百の位、十の位は\({}_3\mathrm{P}_2\)通り
よって、
\(1\times{}_3\mathrm{P}_2\)
\(=1・3・2\)
\(=6\)(通り)
百の位、十の位は\({}_3\mathrm{P}_2\)通り
よって、
\(1\times{}_3\mathrm{P}_2\)
\(=1・3・2\)
\(=6\)(通り)
次の学習に進もう！