【高校数学A】1-1-4 いろいろな順列｜要点まとめ
このページでは、高校数学Aの「いろいろな順列」について解説しています。円順列、じゅず順列、重複順列の公式や考え方を整理し、図や例題を用いてわかりやすく学べる内容です。定期テストや入試対策にも役立つ、基礎から応用までの要点まとめとなっています。
円順列｜円形に並べる場合の順列
【円順列】
異なる\(n\)個のものの円順列の総数は
\(\displaystyle \frac{{}_n\mathrm{P}_n}{n}=(n-1)!\)
【例題】次の問いに答えなさい。
(1)\(6\)人が円形に並ぶとき、何通りあるか求めなさい。
\((6-1)!\)
\(=5!\)
\(=120\)(通り)
\(=5!\)
\(=120\)(通り)
(2)男子\(2\)人と女子\(4\)人が円形に並ぶとき、男子が向かい合う並び方は何通りか求めなさい。
向かい合う男子の並び方は\(1\)通り
残り女子\(4\)人の並び方は\(4!\)通り
よって、
\(1\times4!\)
\(=1・4・3・2・1\)
\(=24\)(通り)
残り女子\(4\)人の並び方は\(4!\)通り
よって、
\(1\times4!\)
\(=1・4・3・2・1\)
\(=24\)(通り)
(3)男子\(2\)人と女子\(4\)人が円形に並ぶとき、男子が隣り合う並び方は何通りか求めなさい。
男子\(2\)人をひとまとめにして、\(5\)人の円形の並び方は\((5-1)!\)通り
男子の並び方は\(2\)通り
よって、
\(4!\times2\)
\(=4・3・2・1・2\)
\(=48\)(通り)
男子の並び方は\(2\)通り
よって、
\(4!\times2\)
\(=4・3・2・1・2\)
\(=48\)(通り)
(4)男子\(2\)人と女子\(4\)人が円形に並ぶとき、男子の間に女子\(1\)人が隣り合う並び方は何通りか求めなさい。
男子\(2\)人、女子\(1\)をひとまとめにして、\(4\)人の円形の並び方は\((4-1)!\)通り
男子\(2\)人の間に入る女子は\(4\)通り
男子の並び方は\(2\)通り
よって、
\(3!\times4\times2\)
\(=3・2・1・4・2\)
\(=48\)(通り)
男子\(2\)人の間に入る女子は\(4\)通り
男子の並び方は\(2\)通り
よって、
\(3!\times4\times2\)
\(=3・2・1・4・2\)
\(=48\)(通り)
じゅず順列｜表裏を区別しない順列
【じゅず順列】
異なる\(n\)個のもののじゅず順列の総数は
\(\displaystyle \frac{(n-1)!}{2}\)
【例題】\(8\)種類の玉を用いてじゅずを作るとき、何通りあるか求めなさい。
\(\displaystyle \frac{(8-1)!}{2}=2520\)(通り)
重複順列｜同じ要素を含む順列
【重複順列】
異なる\(n\)個のものから重複を許して、\(r\)個を取り出して並べる順列の総数は\(n^r\)
【例題】\(1,2,3\)の3文字を使って\(3\)桁の整数を作るとき、何通りあるか求めなさい。ただし、同じ数字は何回使ってもよい。
\(3^3=27\)(通り)
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