【高校数学A】2-1-3 最小公倍数と最大公約数｜問題集
1.次の数の最小公倍数と最大公約数を求めなさい。
(1)\(28,42\)
\(28=2^2\times7\)
\(42=2\times3\times7\)
よって、
最小公倍数:\(2^2\times3\times7=84\)
最大公約数:\(2\times7=14\)
\(42=2\times3\times7\)
よって、
最小公倍数:\(2^2\times3\times7=84\)
最大公約数:\(2\times7=14\)
(2)\(9,90\)
\(9=3^2\)
\(90=2\times3^2\times5\)
よって、
最小公倍数:\(2\times3^2\times5=90\)
最大公約数:\(3^2=9\)
\(90=2\times3^2\times5\)
よって、
最小公倍数:\(2\times3^2\times5=90\)
最大公約数:\(3^2=9\)
(3)\(60,72\)
\(60=2^2\times3\times5\)
\(72=2^3\times3^2\)
よって、
最小公倍数:\(2^3\times3^2\times5=360\)
最大公約数:\(2^2\times3=12\)
\(72=2^3\times3^2\)
よって、
最小公倍数:\(2^3\times3^2\times5=360\)
最大公約数:\(2^2\times3=12\)
(4)\(378,840\)
\(378=2\times3^3\times7\)
\(840=2^3\times3\times5\times7\)
よって、
最小公倍数:\(2^3\times3^3\times5\times7=7560\)
最大公約数:\(2\times3\times7=42\)
\(840=2^3\times3\times5\times7\)
よって、
最小公倍数:\(2^3\times3^3\times5\times7=7560\)
最大公約数:\(2\times3\times7=42\)
(5)\(18,36,48\)
\(18=2\times3^2\)
\(36=2^2\times3^2\)
\(48=2^4\times3\)
よって、
最小公倍数:\(2^4\times3^2=144\)
最大公約数:\(2\times3=6\)
\(36=2^2\times3^2\)
\(48=2^4\times3\)
よって、
最小公倍数:\(2^4\times3^2=144\)
最大公約数:\(2\times3=6\)
(6)\(45,60,210\)
\(45=3^2\times5\)
\(60=2^2\times3\times5\)
\(210=2\times3\times5\times7\)
よって、
最小公倍数:\(2^2\times3^2\times5\times7=1260\)
最大公約数:\(3\times5=15\)
\(60=2^2\times3\times5\)
\(210=2\times3\times5\times7\)
よって、
最小公倍数:\(2^2\times3^2\times5\times7=1260\)
最大公約数:\(3\times5=15\)
(7)\(28,84,180\)
\(28=2^2\times7\)
\(84=2^2\times3\times7\)
\(180=2^2\times3^2\times5\)
よって、
最小公倍数:\(2^2\times3^2\times5\times7=1260\)
最大公約数:\(2^2=4\)
\(84=2^2\times3\times7\)
\(180=2^2\times3^2\times5\)
よって、
最小公倍数:\(2^2\times3^2\times5\times7=1260\)
最大公約数:\(2^2=4\)
2.\(n\)と\(18\)の最小公倍数が\(180\)であるような\(n\)を全て求めなさい。\(n\)は自然数とする。
\(18=2\times3^2\)
\(180=2^2\times3^2\times5\)
最小公倍数は各素因数の指数の最大をとるので、
\(2^2\times3^0\times5=20\)
\(2^2\times3^1\times5=60\)
\(2^2\times3^2\times5=180\)
よって、
\(n=20,60,180\)
\(180=2^2\times3^2\times5\)
最小公倍数は各素因数の指数の最大をとるので、
\(2^2\times3^0\times5=20\)
\(2^2\times3^1\times5=60\)
\(2^2\times3^2\times5=180\)
よって、
\(n=20,60,180\)
3.\(a+1\)は\(5\)の倍数であり、\(a+2\)は\(9\)の倍数であるとき、\(a+11\)は\(45\)の倍数であることを証明しなさい。ただし、\(a\)を自然数とする。
\(m,l\)を自然数とおくと、\(a+1=5m,a+2=9n\)
\(a+11=(a+1)+10=5m+10=5(m+2)\)
\(a+11\)は\(5\)の倍数。
\(a+11=(a+2)+9=9n+9=9(n+1)\)
\(a+11\)は\(9\)の倍数。
\(5,9\)は互いに素なので、
\(a+11\)は\(45\)の倍数である。
\(a+11=(a+1)+10=5m+10=5(m+2)\)
\(a+11\)は\(5\)の倍数。
\(a+11=(a+2)+9=9n+9=9(n+1)\)
\(a+11\)は\(9\)の倍数。
\(5,9\)は互いに素なので、
\(a+11\)は\(45\)の倍数である。
4.\(2\)つの自然数\(a,b\)の組を全て求めなさい。ただし、\(a< b\)とする。
(1)最大公約数が\(9\)、最小公倍数が\(108\)
最大公約数が\(9\)なので、
\(a=9a',b=9b'\)
このとき、最小公倍数は\(9a'b'\)なので、
\(9a'b'=108\)
\(a'b'=12\)
条件に合う\(a',b'\)の組は
\((a',b')=(1,12),(3,4)\)
よって、
\((a,b)=(9,108),(27,36)\)
\(a=9a',b=9b'\)
このとき、最小公倍数は\(9a'b'\)なので、
\(9a'b'=108\)
\(a'b'=12\)
条件に合う\(a',b'\)の組は
\((a',b')=(1,12),(3,4)\)
よって、
\((a,b)=(9,108),(27,36)\)
(2)最大公約数が\(7\)、最小公倍数が\(42\)
最大公約数が\(7\)なので、
\(a=7a',b=7b'\)
このとき、最小公倍数は\(7a'b'\)なので、
\(7a'b'=42\)
\(a'b'=6\)
条件に合う\(a',b'\)の組は
\((a',b')=(1,6),(2,3)\)
よって、
\((a,b)=(7,42),(14,21)\)
\(a=7a',b=7b'\)
このとき、最小公倍数は\(7a'b'\)なので、
\(7a'b'=42\)
\(a'b'=6\)
条件に合う\(a',b'\)の組は
\((a',b')=(1,6),(2,3)\)
よって、
\((a,b)=(7,42),(14,21)\)
(3)最大公約数が\(15\)、最小公倍数が\(180\)
最大公約数が\(15\)なので、
\(a=15a',b=15b'\)
このとき、最小公倍数は\(15a'b'\)なので、
\(15a'b'=180\)
\(a'b'=12\)
条件に合う\(a',b'\)の組は
\((a',b')=(1,12),(3,4)\)
よって、
\((a,b)=(15,180),(45,60)\)
\(a=15a',b=15b'\)
このとき、最小公倍数は\(15a'b'\)なので、
\(15a'b'=180\)
\(a'b'=12\)
条件に合う\(a',b'\)の組は
\((a',b')=(1,12),(3,4)\)
よって、
\((a,b)=(15,180),(45,60)\)
(4)積が\(96\)、最大公約数が\(4\)
積が\(96\)、最大公約数が\(4\)であるから、
最小公倍数は\(24\)
最大公約数が\(4\)なので、
\(a=4a',b=4b'\)
このとき、最小公倍数は\(4a'b'\)なので、
\(4a'b'=24\)
\(a'b'=6\)
条件に合う\(a',b'\)の組は
\((a',b')=(1,6),(2,3)\)
よって、
\((a,b)=(4,24),(8,12)\)
最小公倍数は\(24\)
最大公約数が\(4\)なので、
\(a=4a',b=4b'\)
このとき、最小公倍数は\(4a'b'\)なので、
\(4a'b'=24\)
\(a'b'=6\)
条件に合う\(a',b'\)の組は
\((a',b')=(1,6),(2,3)\)
よって、
\((a,b)=(4,24),(8,12)\)
(5)積が\(450\)、最大公約数が\(5\)
積が\(450\)、最大公約数が\(5\)であるから、
最小公倍数は\(90\)
最大公約数が\(5\)なので、
\(a=5a',b=5b'\)
このとき、最小公倍数は\(5a'b'\)なので、
\(5a'b'=90\)
\(a'b'=18\)
条件に合う\(a',b'\)の組は
\((a',b')=(1,18),(2,9)\)
よって、
\((a,b)=(5,90),(10,45)\)
最小公倍数は\(90\)
最大公約数が\(5\)なので、
\(a=5a',b=5b'\)
このとき、最小公倍数は\(5a'b'\)なので、
\(5a'b'=90\)
\(a'b'=18\)
条件に合う\(a',b'\)の組は
\((a',b')=(1,18),(2,9)\)
よって、
\((a,b)=(5,90),(10,45)\)
次の学習に進もう！