【高校数学A】3-1-2 三角形の五心｜問題集
1.次の図の\(x,y\)の値を求めなさい。ただし、点\(O\)は\(△ABC\)の外心である。
(1)
\(180°=70°+(x+40°)+(x+30°)\)
\(\ \ 40°=2x\)
\(\ \ \ \ \ x=20°\)
\(y=180°-2\times20°\)
\(\ \ =140°\)
\(\ \ 40°=2x\)
\(\ \ \ \ \ x=20°\)
\(y=180°-2\times20°\)
\(\ \ =140°\)
(2)
\(x=50°\)
\(y=50°+50°\)
\(\ \ =100°\)
\(y=50°+50°\)
\(\ \ =100°\)
(3)
\(180°=20°+40°+(x+20°)+(x+40°)\)
\(\ \ 60°=2x\)
\(\ \ \ \ \ x=30°\)
\(y=180°-2\times30°\)
\(\ \ =120°\)
\(\ \ 60°=2x\)
\(\ \ \ \ \ x=30°\)
\(y=180°-2\times30°\)
\(\ \ =120°\)
(4)
\(180°=70°+(x+35°)+(x+35°)\)
\(\ \ 40°=2x\)
\(\ \ \ \ \ x=20°\)
\(y=180°-2\times20°\)
\(\ \ =140°\)
\(\ \ 40°=2x\)
\(\ \ \ \ \ x=20°\)
\(y=180°-2\times20°\)
\(\ \ =140°\)
(5)
\(x=180°-2\times30°\)
\(\ \ =120°\)
\(180°=50°+(y+20°)+(y+30°)\)
\(\ \ 80°=2y\)
\(\ \ \ \ \ y=40°\)
\(\ \ =120°\)
\(180°=50°+(y+20°)+(y+30°)\)
\(\ \ 80°=2y\)
\(\ \ \ \ \ y=40°\)
(6)
\(x=15°+50°\)
\(\ \ =65°\)
\(y=15°+50°+65°\)
\(\ \ =130°\)
\(\ \ =65°\)
\(y=15°+50°+65°\)
\(\ \ =130°\)
(7)
\(180°=2\times(x+20°+40°)\)
\(\ \ \ 2x=60°\)
\(\ \ \ \ \ x=30°\)
\(y=180°-2\times40°\)
\(\ \ =100°\)
\(\ \ \ 2x=60°\)
\(\ \ \ \ \ x=30°\)
\(y=180°-2\times40°\)
\(\ \ =100°\)
(8)
円周角の定理より、\(∠BOC=120°\)
\(180°=120°+2x\)
\(\ \ \ 2x=60°\)
\(\ \ \ \ \ x=30°\)
円周角の定理より、\(∠AOC=100°\)
\(180°=100°+2y\)
\(\ \ \ 2y=80°\)
\(\ \ \ \ \ y=40°\)
\(180°=120°+2x\)
\(\ \ \ 2x=60°\)
\(\ \ \ \ \ x=30°\)
円周角の定理より、\(∠AOC=100°\)
\(180°=100°+2y\)
\(\ \ \ 2y=80°\)
\(\ \ \ \ \ y=40°\)
2.次の図の\(x,y\)の値を求めなさい。ただし、点\(I\)は\(△ABC\)の内心である。
(1)
\(180°=2\times(x+20°+40°)\)
\(\ \ 60°=2x\)
\(\ \ \ \ \ x=30°\)
\(y=180°-(20°+30°)\)
\(\ \ =130°\)
\(\ \ 60°=2x\)
\(\ \ \ \ \ x=30°\)
\(y=180°-(20°+30°)\)
\(\ \ =130°\)
(2)
\(180°=70°+2\times(x+30°)\)
\(\ \ 50°=2x\)
\(\ \ \ \ \ x=25°\)
\(y=180°-(25°+30°)\)
\(\ \ =125°\)
\(\ \ 50°=2x\)
\(\ \ \ \ \ x=25°\)
\(y=180°-(25°+30°)\)
\(\ \ =125°\)
(3)
\(\displaystyle x=180°-\frac{180°-40°}{2}\)
\(\ \ =110°\)
\(\ \ =110°\)
(4)
\(\displaystyle x=180°-\frac{180°-80°}{2}\)
\(\ \ =130°\)
\(\ \ =130°\)
(5)
\(\displaystyle x=180°-2\times(180°-110°)\)
\(\ \ =40°\)
\(\ \ =40°\)
3.△\(ABC\)の内心を\(I\)、直線\(AI\)と辺\(BC\)の交点を\(D\)とする。
(1)\(AB=4,BC=5,CA=3\)のとき、\(AI:ID\)を求めなさい。
\(BD:DC=4:3\)より、
\(4:3=BD:(5-BD)\)
\(7BD=20\)
\(\displaystyle BD=\frac{20}{7}\) よって、
\(\displaystyle AI:ID=4:\frac{20}{7}\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =28:20\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =7:5\)
\(4:3=BD:(5-BD)\)
\(7BD=20\)
\(\displaystyle BD=\frac{20}{7}\) よって、
\(\displaystyle AI:ID=4:\frac{20}{7}\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =28:20\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =7:5\)
(2)\(AB=6,BC=5,CA=3\)のとき、\(AI:ID\)を求めなさい。
\(BD:DC=2:1\)より、
\(2:1=BD:(5-BD)\)
\(3BD=10\)
\(\displaystyle BD=\frac{10}{3}\) よって、
\(\displaystyle AI:ID=6:\frac{10}{3}\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =18:10\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =9:5\)
\(2:1=BD:(5-BD)\)
\(3BD=10\)
\(\displaystyle BD=\frac{10}{3}\) よって、
\(\displaystyle AI:ID=6:\frac{10}{3}\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =18:10\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =9:5\)
(3)\(AB=5,BC=5,CA=4\)のとき、\(AI:ID\)を求めなさい。
\(BD:DC=5:4\)より、
\(5:4=BD:(5-BD)\)
\(9BD=25\)
\(\displaystyle BD=\frac{25}{9}\) よって、
\(\displaystyle AI:ID=5:\frac{25}{9}\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =45:25\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =9:5\)
\(5:4=BD:(5-BD)\)
\(9BD=25\)
\(\displaystyle BD=\frac{25}{9}\) よって、
\(\displaystyle AI:ID=5:\frac{25}{9}\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =45:25\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =9:5\)
4.\(△ABC\)の重心を\(G\)とする。
(1)\(BC=10,AG=6\)のとき、\(BD,GD\)の値を求めなさい。
\(\displaystyle BD=\frac{1}{2}\times10=5\)
\(2:1=6:GD\)
\(2GD=6\)
\(GD=3\)
\(2:1=6:GD\)
\(2GD=6\)
\(GD=3\)
(2)\(BC=8,AD=6\)のとき、\(BD,AG\)の値を求めなさい。
\(\displaystyle BD=\frac{1}{2}\times8=4\)
\(3:2=6:AG\)
\(3AG=12\)
\(AG=4\)
\(3:2=6:AG\)
\(3AG=12\)
\(AG=4\)
5.\(△ABC\)の重心を\(G\)とし、\(∠C=90°\)とする。
(1)\(AB=13,BD=4\)のとき、\(AG\)の値を求めなさい。
\(BC=2\times4=8\)
\(△ABC\)において、三平方の定理より
\(AC=\sqrt{13^2-8^2}=\sqrt{105}\)
\(△ACD\)において、三平方の定理より
\(AD=\sqrt{4^2+(\sqrt{105})^2}=11\)
よって、
\(3:2=11:AG\)
\(3AG=22\)
\(\displaystyle AG=\frac{22}{3}\)
\(△ABC\)において、三平方の定理より
\(AC=\sqrt{13^2-8^2}=\sqrt{105}\)
\(△ACD\)において、三平方の定理より
\(AD=\sqrt{4^2+(\sqrt{105})^2}=11\)
よって、
\(3:2=11:AG\)
\(3AG=22\)
\(\displaystyle AG=\frac{22}{3}\)
(2)\(AC=4,BC=3\)のとき、\(△GBC\)の面積を求めなさい。
\(\displaystyle △ABC=\frac{1}{2}\times4\times3=6\)
\(△ABC:△GBC=3:1\)なので、
\(3:1=6:△GBC\)
\(△GBC=2\)
\(△ABC:△GBC=3:1\)なので、
\(3:1=6:△GBC\)
\(△GBC=2\)
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