【高校数学A】3-1-3 チェバ・メネラウスの定理｜問題集
1.次の図において、問いに答えなさい。
(1)\(RB=2,BP=4,PC=2,CQ=1,QA=3\)のとき、\(AR\)を求めなさい。
チェバの定理より、
\(\displaystyle \frac{4}{2}・\frac{1}{3}・\frac{AR}{2}=1\)
よって、
\(AR=3\)
\(\displaystyle \frac{4}{2}・\frac{1}{3}・\frac{AR}{2}=1\)
よって、
\(AR=3\)
(2)\(AR=2,BP=6,PC=1,CQ=3,QA=4\)のとき、\(RB\)を求めなさい。
チェバの定理より、
\(\displaystyle \frac{6}{1}・\frac{3}{4}・\frac{2}{RB}=1\)
よって、
\(RB=9\)
\(\displaystyle \frac{6}{1}・\frac{3}{4}・\frac{2}{RB}=1\)
よって、
\(RB=9\)
(3)\(AR=5,RB=4,PC=5,CQ=4,QA=3\)のとき、\(BP\)を求めなさい。
チェバの定理より、
\(\displaystyle \frac{BP}{5}・\frac{4}{3}・\frac{5}{4}=1\)
よって、
\(BP=3\)
\(\displaystyle \frac{BP}{5}・\frac{4}{3}・\frac{5}{4}=1\)
よって、
\(BP=3\)
(4)\(AR=1,RB=2,BP=3,PC=2,QA=3\)のとき、\(CQ\)を求めなさい。
チェバの定理より、
\(\displaystyle \frac{3}{2}・\frac{CQ}{3}・\frac{1}{2}=1\)
よって、
\(CQ=4\)
\(\displaystyle \frac{3}{2}・\frac{CQ}{3}・\frac{1}{2}=1\)
よって、
\(CQ=4\)
(5)\(AR=2,BP=3,PC=4,CO=4,OR=1\)のとき、\(RB\)を求めなさい。
メネラウスの定理より、
\(\displaystyle \frac{RB+2}{2}・\frac{1}{4}・\frac{4}{3}=1\)
\(RB+2=6\)
\(RB=4\)
\(\displaystyle \frac{RB+2}{2}・\frac{1}{4}・\frac{4}{3}=1\)
\(RB+2=6\)
\(RB=4\)
(6)\(AQ:QC=2:3,BP=PC\)のとき、\(AR:RB\)を求めなさい。
チェバの定理より、
\(\displaystyle \frac{1}{1}・\frac{3}{2}・\frac{AR}{RB}=1\)
\(\displaystyle \frac{AR}{RB}=\frac{2}{3}\)
よって、
\(AR:RB=2:3\)
\(\displaystyle \frac{1}{1}・\frac{3}{2}・\frac{AR}{RB}=1\)
\(\displaystyle \frac{AR}{RB}=\frac{2}{3}\)
よって、
\(AR:RB=2:3\)
(7)\(AR=4,RB=3,CQ=4,QA=2\)のとき、\(BP:PC\)を求めなさい。
チェバの定理より、
\(\displaystyle \frac{BP}{PC}・\frac{4}{2}・\frac{4}{3}=1\)
\(\displaystyle \frac{BP}{PC}=\frac{3}{8}\)
よって、
\(BP:PC=3:8\)
\(\displaystyle \frac{BP}{PC}・\frac{4}{2}・\frac{4}{3}=1\)
\(\displaystyle \frac{BP}{PC}=\frac{3}{8}\)
よって、
\(BP:PC=3:8\)
(8)\(AR=3,RB=2,CQ=2,QA=4\)のとき、\(BO:OQ\)を求めなさい。
メネラウスの定理より、
\(\displaystyle \frac{6}{2}・\frac{OQ}{BO}・\frac{2}{3}=1\)
\(\displaystyle \frac{OQ}{BO}=\frac{1}{2}\)
よって、
\(BO:OQ=2:1\)
\(\displaystyle \frac{6}{2}・\frac{OQ}{BO}・\frac{2}{3}=1\)
\(\displaystyle \frac{OQ}{BO}=\frac{1}{2}\)
よって、
\(BO:OQ=2:1\)
(9)辺\(AB,AC\)を\(1:3\)に内分する点をそれぞれ\(R,Q\)とするとき、\(BP:PC\)を求めなさい。
チェバの定理より、
\(\displaystyle \frac{BP}{PC}・\frac{3}{1}・\frac{1}{3}=1\)
\(\displaystyle \frac{BP}{PC}=\frac{1}{1}\)
よって、
\(BP:PC=1:1\)
\(\displaystyle \frac{BP}{PC}・\frac{3}{1}・\frac{1}{3}=1\)
\(\displaystyle \frac{BP}{PC}=\frac{1}{1}\)
よって、
\(BP:PC=1:1\)
(10)辺\(AB,AC\)を\(1:3\)に内分する点をそれぞれ\(R,Q\)とするとき、\(△OBC:△ABC\)を求めなさい。
メネラウスの定理より、
\(\displaystyle \frac{2}{1}・\frac{PO}{OA}・\frac{1}{3}=1\)
\(\displaystyle \frac{PO}{OA}=\frac{3}{2}\)
\(PO:OA=3:2\)
よって、
\(△OBC:△ABC=3:5\)
\(\displaystyle \frac{2}{1}・\frac{PO}{OA}・\frac{1}{3}=1\)
\(\displaystyle \frac{PO}{OA}=\frac{3}{2}\)
\(PO:OA=3:2\)
よって、
\(△OBC:△ABC=3:5\)
2.次の図において、問いに答えなさい。
(1)\(AR=1,RB=3,BC=6,CP=3,QA=2\)のとき、\(CQ\)を求めなさい。
メネラウスの定理より、
\(\displaystyle \frac{6+3}{3}・\frac{CQ}{2}・\frac{1}{3}=1\)
よって、
\(CQ=2\)
\(\displaystyle \frac{6+3}{3}・\frac{CQ}{2}・\frac{1}{3}=1\)
よって、
\(CQ=2\)
(2)\(AR=6,RB=5,BC=7,CP=3,CQ=2\)のとき、\(QA\)を求めなさい。
メネラウスの定理より、
\(\displaystyle \frac{7+3}{3}・\frac{2}{QA}・\frac{6}{5}=1\)
よって、
\(QA=8\)
\(\displaystyle \frac{7+3}{3}・\frac{2}{QA}・\frac{6}{5}=1\)
よって、
\(QA=8\)
(3)\(RB=4,BC=5,CP=3,CQ=3,QA=4\)のとき、\(AR\)を求めなさい。
メネラウスの定理より、
\(\displaystyle \frac{5+3}{3}・\frac{3}{4}・\frac{AR}{4}=1\)
よって、
\(AR=2\)
\(\displaystyle \frac{5+3}{3}・\frac{3}{4}・\frac{AR}{4}=1\)
よって、
\(AR=2\)
(4)\(BC=6,CP=2,CQ=3,QA=4\)のとき、\(AR:RB\)を求めなさい。
メネラウスの定理より、
\(\displaystyle \frac{6+2}{2}・\frac{3}{4}・\frac{AR}{RB}=1\)
\(\displaystyle \frac{AR}{RB}=\frac{1}{3}\)
よって、
\(AR:RB=1:3\)
\(\displaystyle \frac{6+2}{2}・\frac{3}{4}・\frac{AR}{RB}=1\)
\(\displaystyle \frac{AR}{RB}=\frac{1}{3}\)
よって、
\(AR:RB=1:3\)
(5)\(AR:RB=1:2,PQ:QR=9:4\)のとき、\(BC:CP\)を求めなさい。
メネラウスの定理より、
\(\displaystyle \frac{2+1}{1}・\frac{4}{9}・\frac{CP}{BC}=1\)
\(\displaystyle \frac{CP}{BC}=\frac{3}{4}\)
よって、
\(BC:CP=4:3\)
\(\displaystyle \frac{2+1}{1}・\frac{4}{9}・\frac{CP}{BC}=1\)
\(\displaystyle \frac{CP}{BC}=\frac{3}{4}\)
よって、
\(BC:CP=4:3\)
(6)\(AR:RB=1:2,PQ:QR=9:4\)のとき、\(AQ:QC\)を求めなさい。
メネラウスの定理より、
\(\displaystyle \frac{4+3}{3}・\frac{QC}{AQ}・\frac{1}{2}=1\)
\(\displaystyle \frac{QC}{AQ}=\frac{6}{7}\)
よって、
\(AQ:QC=7:6\)
\(\displaystyle \frac{4+3}{3}・\frac{QC}{AQ}・\frac{1}{2}=1\)
\(\displaystyle \frac{QC}{AQ}=\frac{6}{7}\)
よって、
\(AQ:QC=7:6\)
(7)辺\(BC\)を\(3:1\)に外分する点を\(P\)、辺\(AB\)を\(1:2\)に内分する点を\(R\)のとき、\(AQ:QC\)を求めなさい。
メネラウスの定理より、
\(\displaystyle \frac{2+1}{1}・\frac{QC}{AQ}・\frac{1}{2}=1\)
\(\displaystyle \frac{QC}{AQ}=\frac{2}{3}\)
よって、
\(AQ:QC=3:2\)
\(\displaystyle \frac{2+1}{1}・\frac{QC}{AQ}・\frac{1}{2}=1\)
\(\displaystyle \frac{QC}{AQ}=\frac{2}{3}\)
よって、
\(AQ:QC=3:2\)
(8)辺\(BC\)を\(3:1\)に外分する点を\(P\)、辺\(AB\)を\(1:2\)に内分する点を\(R\)のとき、\(PQ:QR\)を求めなさい。
メネラウスの定理より、
\(\displaystyle \frac{2+1}{1}・\frac{QR}{PQ}・\frac{1}{2}=1\)
\(\displaystyle \frac{QR}{PQ}=\frac{2}{3}\)
よって、
\(PQ:QR=3:2\)
\(\displaystyle \frac{2+1}{1}・\frac{QR}{PQ}・\frac{1}{2}=1\)
\(\displaystyle \frac{QR}{PQ}=\frac{2}{3}\)
よって、
\(PQ:QR=3:2\)
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