【高校数学A】3-1-3 チェバ・メネラウスの定理｜要点まとめ
このページでは、高校数学Aの「チェバの定理」と「メネラウスの定理」について解説しています。三角形の辺や線分の比を利用した定理の考え方や証明をわかりやすく整理。例題を通して理解を深められる内容で、定期テストや入試対策にも役立つ要点まとめとなっています。
チェバの定理の公式
【チェバの定理】
\(△ABC\)の\(3\)辺\(BC,CA,AB\)上にそれぞれ点\(P,Q,R\)がある。
\(3\)直線\(AP,BQ,CR\)が\(1\)点で交わるならば、
\(\displaystyle \frac{BP}{PC}・\frac{CQ}{QA}・\frac{AR}{RB}=1\)
【例題】\(AR=1,RB=2,CQ=4,QA=3\)のとき、\(BP:PC\)を求めなさい。
チェバの定理より、
\(\displaystyle \frac{1}{2}・\frac{BP}{PC}・\frac{4}{3}=1\)
\(\displaystyle \frac{BP}{PC}=\frac{3}{2}\)
よって、
\(BP:PC=3:2\)
\(\displaystyle \frac{1}{2}・\frac{BP}{PC}・\frac{4}{3}=1\)
\(\displaystyle \frac{BP}{PC}=\frac{3}{2}\)
よって、
\(BP:PC=3:2\)
メネラウスの定理の活用例
【メネラウスの定理】
\(△ABC\)の\(3\)辺\(BC,CA,AB\)上、またはそれらの延長上にそれぞれ三角形の頂点と異なる点\(P,Q,R\)がある。
\(3\)点\(P,Q,R\)が一直線上にあるならば、
\(\displaystyle \frac{BP}{PC}・\frac{CQ}{QA}・\frac{AR}{RB}=1\)
【例題】\(AR=1,RB=2,BC=4,CP=3\)のとき、\(CQ:QA\)を求めなさい。
メネラウスの定理より、
\(\displaystyle \frac{1}{2}・\frac{7}{3}・\frac{CQ}{QA}=1\)
\(\displaystyle \frac{CQ}{QA}=\frac{6}{7}\)
よって、
\(CQ:QA=6:7\)
\(\displaystyle \frac{1}{2}・\frac{7}{3}・\frac{CQ}{QA}=1\)
\(\displaystyle \frac{CQ}{QA}=\frac{6}{7}\)
よって、
\(CQ:QA=6:7\)
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