【高校数学A】3-2-2 円と直線｜問題集
1.図において、\(△ABC\)は\(D,E,F\)で円に接している。
(1)\(AB=5,BC=7,CA=8\)のとき、\(CE\)の長さを求めなさい。
\(CE=x\)とすると、円の接線の性質より、
\(CE=CF=x\)
\(BD=BE=7-x\)
\(AD=AF=8-x\)
\(AB=AD+BD\)より、
\(5=(8-x)+(7-x)\)
\(x=5\)
よって、
\(CE=5\)
\(CE=CF=x\)
\(BD=BE=7-x\)
\(AD=AF=8-x\)
\(AB=AD+BD\)より、
\(5=(8-x)+(7-x)\)
\(x=5\)
よって、
\(CE=5\)
(2)\(AC=7,BE=2,CE=4\)のとき、\(AB\)の長さを求めなさい。
円の接線の性質より、
\(BE=BD=2\)
\(CE=CF=4\)
\(AD=AF=7-4=3\)
よって、
\(AB=AD+BD=5\)
\(BE=BD=2\)
\(CE=CF=4\)
\(AD=AF=7-4=3\)
よって、
\(AB=AD+BD=5\)
(3)\(AB=7,BE=3,CE=5\)のとき、\(AC\)の長さを求めなさい。
円の接線の性質より、
\(CE=CF=5\)
\(BE=BD=3\)
\(AF=AD=7-3=4\)
よって、
\(AC=AF+CF=9\)
\(CE=CF=5\)
\(BE=BD=3\)
\(AF=AD=7-3=4\)
よって、
\(AC=AF+CF=9\)
(4)\(AB=7,BC=8,CA=13\)のとき、\(BE\)の長さを求めなさい。
\(BE=x\)とすると、円の接線の性質より、
\(BE=BD=x\)
\(CE=CF=8-x\)
\(AD=AF=7-x\)
\(CA=AF+CF\)より、
\(13=(7-x)+(8-x)\)
\(x=1\)
よって、
\(BE=1\)
\(BE=BD=x\)
\(CE=CF=8-x\)
\(AD=AF=7-x\)
\(CA=AF+CF\)より、
\(13=(7-x)+(8-x)\)
\(x=1\)
よって、
\(BE=1\)
2.図において、円\(O\)は\(∠C=90°\)の直角三角形\(ABC\)の内接円で、\(D,E,F\)で円\(O\)に接している。
(1)\(CF=1,AF=3\)のとき、\(AB,BC\)の長さを求めなさい。
\(BD=x\)とすると、円の接線の性質より、
\(CF=CE=1\)
\(AF=AD=3\)
\(BD=BE=x\)
三平方の定理より、
\((x+3)^2=(x+1)^2+(3+1)^2\)
\(4x=8\)
\(x=2\)
よって、
\(AB=5,BC=3\)
\(CF=CE=1\)
\(AF=AD=3\)
\(BD=BE=x\)
三平方の定理より、
\((x+3)^2=(x+1)^2+(3+1)^2\)
\(4x=8\)
\(x=2\)
よって、
\(AB=5,BC=3\)
(2)\(BE=3,CE=2\)のとき、\(AB,AC\)の長さを求めなさい。
\(AD=x\)とすると、円の接線の性質より、
\(BE=BD=3\)
\(CE=CF=2\)
\(AD=AF=x\)
三平方の定理より、
\((x+3)^2=(x+2)^2+(3+2)^2\)
\(2x=20\)
\(x=10\)
よって、
\(AB=13,AC=12\)
\(BE=BD=3\)
\(CE=CF=2\)
\(AD=AF=x\)
三平方の定理より、
\((x+3)^2=(x+2)^2+(3+2)^2\)
\(2x=20\)
\(x=10\)
よって、
\(AB=13,AC=12\)
(3)\(BC=3,AC=4\)のとき、\(OD\)の長さを求めなさい。
\(OD=r\)とすると、円の接線の性質より、
\(CE=CF=r\)
\(AF=AD=4-r\)
\(BE=BD=3-r\)
三平方の定理より、
\((4-r+3-r)^2=3^2+4^2\)
\(2r=2\)
\(r=1\)
よって、
\(OD=1\)
\(CE=CF=r\)
\(AF=AD=4-r\)
\(BE=BD=3-r\)
三平方の定理より、
\((4-r+3-r)^2=3^2+4^2\)
\(2r=2\)
\(r=1\)
よって、
\(OD=1\)
3.\(∠x,∠y\)の大きさを求めなさい。ただし、\(AT\)は円\(O\)の接点で点\(A\)は接点である。
(1)
\(∠x=180°-(90°+25°)\)
\(∠x=65°\)
\(∠x=65°\)
(2)\(AB=BC\)
\(∠x=180°-(65°+65°)\)
\(∠x=50°\)
\(∠x=50°\)
(3)
\(∠x=180°-(103°+41°)=36°\)
(4)\(\stackrel{\huge\frown}{AB}=\stackrel{\huge\frown}{BC}\)
\(∠x=180°-(40°+40°)\)
\(∠x=100°\)
\(∠x=100°\)
(5)
\(∠x=2\times60°=120°\)
(6)
\(∠x=60°\)
\(∠y=180°-60°=120°\)
\(∠y=180°-60°=120°\)
(7)
\(∠x=180°-2\times(50°-30°)\)
\(∠x=140°\)
\(∠x=140°\)
4.次の問いに答えなさい。ただし、\(PT\)は円\(O\)の接点で点\(T\)は接点である。
(1)\(AP=4,BP=6,CP=3\)のとき、\(DP\)の長さを求めなさい。
\(3DP=4・6\)
\(DP=8\)
\(DP=8\)
(2)\(AP=9,BP=8,DP=6\)のとき、\(CP\)の長さを求めなさい。
\(6CP=9・8\)
\(CP=12\)
\(CP=12\)
(3)\(AP=3,CP=2,CD=4\)のとき、\(AB\)の長さを求めなさい。
\(3(3+AB)=2・6\)
\(9+3AB=12\)
\(AB=1\)
\(9+3AB=12\)
\(AB=1\)
(4)\(AB=2,CP=3,CD=5\)のとき、\(AP\)の長さを求めなさい。
\(AP(AP+2)=3・8\)
\(AP^2+2AP-24=0\)
\((AP-4)(AP+6)=0\)
\(AP>0\)より、
\(AP=4\)
\(AP^2+2AP-24=0\)
\((AP-4)(AP+6)=0\)
\(AP>0\)より、
\(AP=4\)
(5)\(TP=6,AB=5\)のとき、\(AP\)の長さを求めなさい。
\(AP(AP+5)=6^2\)
\(AP^2+5AP-36=0\)
\((AP-4)(AP+9)=0\)
\(AP>0\)より、
\(AP=4\)
\(AP^2+5AP-36=0\)
\((AP-4)(AP+9)=0\)
\(AP>0\)より、
\(AP=4\)
(6)\(TP=4,AP=2\)のとき、\(AB\)の長さを求めなさい。
\(2(2+AB)=4^2\)
\(4+2AB=16\)
\(AB=6\)
\(4+2AB=16\)
\(AB=6\)
(7)\(AO=3,CP=4,DP=1\)のとき、\(OP\)の長さを求めなさい。
\(AO=BO=3\)より、\(BP=3-OP\)
\((3-OP)(3+OP)=4・1\)
\(9-OP^2=4\)
\(OP^2=5\)
\(OP>0\)より、
\(OP=\sqrt{5}\)
\((3-OP)(3+OP)=4・1\)
\(9-OP^2=4\)
\(OP^2=5\)
\(OP>0\)より、
\(OP=\sqrt{5}\)
(8)\(BO=3,CP=2,CD=4\)のとき、\(OP\)の長さを求めなさい。
\(AP=OP-3\)より、
\((OP-3)(OP+3)=2・6\)
\(OP^2-9=12\)
\(OP^2=21\)
\(OP>0\)より、
\(OP=\sqrt{21}\)
\((OP-3)(OP+3)=2・6\)
\(OP^2-9=12\)
\(OP^2=21\)
\(OP>0\)より、
\(OP=\sqrt{21}\)
(9)\(BO=8,TP=6\)のとき、\(OP\)の長さを求めなさい。
\(AP=OP-8\)より、
\((OP-8)(OP+8)=6^2\)
\(OP^2-64=36\)
\(OP^2=100\)
\(OP>0\)より、
\(OP=10\)
\((OP-8)(OP+8)=6^2\)
\(OP^2-64=36\)
\(OP^2=100\)
\(OP>0\)より、
\(OP=10\)
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