3-2-2 円と直線(要点)

【円の接線】

(1)円の接線と接点を通る半径は垂直である。
\(PA⊥OA,PB⊥OB\)
(2)円外の1点からひいた2本の接線の長さは等しい。
\(PA=PB\)

【例題】図において、\(△ABC\)は\(D,E,F\)で円に接している。\(AB=5,BC=6,CA=7\)のとき、\(AD\)の長さを求めなさい。

\(AD=x\)とすると、円の接線の性質より、
\(AD=AF=x\)
\(BD=BE=5-x\)
\(CE=CF=7-x\)
\(BC=BE+EC\)より、
\(6=(5-x)+(7-x)\)
\(x=3\)
よって、
\(AD=3\)

【接弦定理】

円の接線と接点を通る弦の作る角は、その角の内部にある弧に対する円周角に等しい。

【例題】\(∠x\)の大きさを求めなさい。ただし、\(AT\)は円\(O\)の接点で点\(A\)は接点である。

(1)

\(∠x=65°\)

(2)\(BA=BC\)

\(∠x=180°-(55°+55°)=70°\)

【方べきの定理】

(1)円の\(2\)つの弦\(AB,CD\)またはそれらの延長が点\(P\)で交わるとき、
\(PA・PB=PC・PD\) (2)円の弦\(AB\)の延長上の点\(P\)から、この円に引いた接線を点\(T\)とするとき、
\(PA・PB=PT^2\)

【例題】次の問いに答えなさい。ただし、\(PT\)は円\(O\)の接点で点\(T\)は接点である。

(1)\(AP=3,BP=4,DP=6\)のとき、\(CP\)の長さを求めなさい。

\(6CP=3・4\)
\(CP=2\)

(2)\(AP=5,CP=4,CD=6\)のとき、\(AB\)の長さを求めなさい。

\(5(5+AB)=4・10\)
\(25+5AB=40\)
\(AB=3\)

(3)\(TP=8,AB=12\)のとき、\(AP\)の長さを求めなさい。

\(AP(AP+12)=8^2\)
\(AP^2+12AP-64=0\)
\((AP-4)(AP+16)=0\)
\(AP>0\)より、
\(AP=4\)