【高校数学A】3-2-2 円と直線｜要点まとめ
このページでは、高校数学Aの「円と直線」について解説しています。円の接線の条件や性質をはじめ、接弦定理や方べきの定理を体系的に整理。図や例題を交えて理解を深められる内容で、定期テスト対策や大学入試の基礎固めにも役立ちます。
円と直線の接線の条件
【円の接線】
(1)円の接線と接点を通る半径は垂直である。
\(PA⊥OA,PB⊥OB\)
(2)円外の1点からひいた2本の接線の長さは等しい。
\(PA=PB\)
【例題】図において、\(△ABC\)は\(D,E,F\)で円に接している。\(AB=5,BC=6,CA=7\)のとき、\(AD\)の長さを求めなさい。
\(AD=x\)とすると、円の接線の性質より、
\(AD=AF=x\)
\(BD=BE=5-x\)
\(CE=CF=7-x\)
\(BC=BE+EC\)より、
\(6=(5-x)+(7-x)\)
\(x=3\)
よって、
\(AD=3\)
\(AD=AF=x\)
\(BD=BE=5-x\)
\(CE=CF=7-x\)
\(BC=BE+EC\)より、
\(6=(5-x)+(7-x)\)
\(x=3\)
よって、
\(AD=3\)
接弦定理の公式と証明
【接弦定理】
円の接線と接点を通る弦の作る角は、その角の内部にある弧に対する円周角に等しい。
【例題】\(∠x\)の大きさを求めなさい。ただし、\(AT\)は円\(O\)の接点で点\(A\)は接点である。
(1)
\(∠x=65°\)
(2)\(BA=BC\)
\(∠x=180°-(55°+55°)=70°\)
方べきの定理と応用
【方べきの定理】
(1)円の\(2\)つの弦\(AB,CD\)またはそれらの延長が点\(P\)で交わるとき、
\(PA・PB=PC・PD\)
(2)円の弦\(AB\)の延長上の点\(P\)から、この円に引いた接線を点\(T\)とするとき、
\(PA・PB=PT^2\)
【例題】次の問いに答えなさい。ただし、\(PT\)は円\(O\)の接点で点\(T\)は接点である。
(1)\(AP=3,BP=4,DP=6\)のとき、\(CP\)の長さを求めなさい。
\(6CP=3・4\)
\(CP=2\)
\(CP=2\)
(2)\(AP=5,CP=4,CD=6\)のとき、\(AB\)の長さを求めなさい。
\(5(5+AB)=4・10\)
\(25+5AB=40\)
\(AB=3\)
\(25+5AB=40\)
\(AB=3\)
(3)\(TP=8,AB=12\)のとき、\(AP\)の長さを求めなさい。
\(AP(AP+12)=8^2\)
\(AP^2+12AP-64=0\)
\((AP-4)(AP+16)=0\)
\(AP>0\)より、
\(AP=4\)
\(AP^2+12AP-64=0\)
\((AP-4)(AP+16)=0\)
\(AP>0\)より、
\(AP=4\)
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