【高校数学B】1-1-2 等差数列｜問題集
1.次の等差数列の一般項を求めなさい。また、第\(10\)項を求めなさい。
(1)初項\(5\)、公差\(4\)
一般項
\(a_n=5+4(n-1)\)
\(\ \ \ \ =4n+1\)
第\(10\)項
\(a_{10}=4・10+1\)
\(\ \ \ \ \ =41\)
\(a_n=5+4(n-1)\)
\(\ \ \ \ =4n+1\)
第\(10\)項
\(a_{10}=4・10+1\)
\(\ \ \ \ \ =41\)
(2)初項\(10\)、公差\(-5\)
一般項
\(a_n=10-5(n-1)\)
\(\ \ \ \ =-5n+15\)
第\(10\)項
\(a_{10}=-5・10+15\)
\(\ \ \ \ \ =-35\)
\(a_n=10-5(n-1)\)
\(\ \ \ \ =-5n+15\)
第\(10\)項
\(a_{10}=-5・10+15\)
\(\ \ \ \ \ =-35\)
(3)初項\(7\)、公差\(-3\)
一般項
\(a_n=7-3(n-1)\)
\(\ \ \ \ =-3n+10\)
第\(10\)項
\(a_{10}=-3・10+10\)
\(\ \ \ \ \ =-20\)
\(a_n=7-3(n-1)\)
\(\ \ \ \ =-3n+10\)
第\(10\)項
\(a_{10}=-3・10+10\)
\(\ \ \ \ \ =-20\)
2.次の等差数列の一般項を求めなさい。
(1)\(2,6,10,14,\cdots\)
初項\(2\)、公差\(4\)の等差数列なので、
\(a_n=2+4(n-1)\)
\(\ \ \ \ =4n-2\)
\(a_n=2+4(n-1)\)
\(\ \ \ \ =4n-2\)
(2)\(100,95,90,85,\cdots\)
初項\(100\)、公差\(-5\)の等差数列なので、
\(a_n=100-5(n-1)\)
\(\ \ \ \ =-5n+105\)
\(a_n=100-5(n-1)\)
\(\ \ \ \ =-5n+105\)
(3)\(1,3,5,7,9,\cdots\)
初項\(1\)、公差\(2\)の等差数列なので、
\(a_n=1+2(n-1)\)
\(\ \ \ \ =2n-1\)
\(a_n=1+2(n-1)\)
\(\ \ \ \ =2n-1\)
(4)第\(4\)項が\(15\)、第\(8\)項が\(27\)
初項が\(a\)、公差が\(d\)とすると、
\(a_4=a+3d=15\)
\(a_8=a+7d=27\)
これを解くと、
\(a=6,d=3\)
よって、
\(a_n=6+3(n-1)\)
\(\ \ \ \ =3n+3\)
\(a_4=a+3d=15\)
\(a_8=a+7d=27\)
これを解くと、
\(a=6,d=3\)
よって、
\(a_n=6+3(n-1)\)
\(\ \ \ \ =3n+3\)
(5)第\(5\)項が\(20\)、第\(10\)項が\(0\)
初項が\(a\)、公差が\(d\)とすると、
\(a_5=a+4d=20\)
\(a_{10}=a+9d=0\)
これを解くと、
\(a=36,d=-4\)
よって、
\(a_n=36-4(n-1)\)
\(\ \ \ \ =-4n+40\)
\(a_5=a+4d=20\)
\(a_{10}=a+9d=0\)
これを解くと、
\(a=36,d=-4\)
よって、
\(a_n=36-4(n-1)\)
\(\ \ \ \ =-4n+40\)
(6)第\(3\)項が\(2\)、第\(5\)項が\(-1\)
初項が\(a\)、公差が\(d\)とすると、
\(a_3=a+2d=2\)
\(a_5=a+4d=-1\)
これを解くと、
\(\displaystyle a=5,d=-\frac{3}{2}\)
よって、
\(\displaystyle a_n=5-\frac{3}{2}(n-1)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =-\frac{3}{2}n+\frac{13}{2}\)
\(a_3=a+2d=2\)
\(a_5=a+4d=-1\)
これを解くと、
\(\displaystyle a=5,d=-\frac{3}{2}\)
よって、
\(\displaystyle a_n=5-\frac{3}{2}(n-1)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =-\frac{3}{2}n+\frac{13}{2}\)
3.第\(5\)項が\(3\)、第\(10\)項が\(18\)の等差数列について、次の問いに答えなさい。
(1)一般項を求めなさい。
初項が\(a\)、公差が\(d\)とすると、
\(a_5=a+4d=3\)
\(a_{10}=a+9d=18\)
これを解くと、
\(a=-9,d=3\)
よって、
\(a_n=-9+3(n-1)\)
\(\ \ \ \ =3n-12\)
\(a_5=a+4d=3\)
\(a_{10}=a+9d=18\)
これを解くと、
\(a=-9,d=3\)
よって、
\(a_n=-9+3(n-1)\)
\(\ \ \ \ =3n-12\)
(2)第\(21\)項を求めなさい。
\(a_{21}=3・21-12\)
\(\ \ \ \ \ =51\)
\(\ \ \ \ \ =51\)
(3)初めて\(1000\)を超えるのは第何項か求めなさい。
\(a_n=3n-12>1000\)
\(n>337.3\cdots\)
よって、第\(338\)項
\(n>337.3\cdots\)
よって、第\(338\)項
4.次の数列が等差数列のとき、\(x\)の値を求めなさい。
(1)\(3,x,7,\cdots\)
\(2x=3+7\)
\(x=5\)
\(x=5\)
(2)\(\displaystyle \frac{1}{12},\frac{1}{x},\frac{1}{6},\cdots\)
\(\displaystyle \frac{2}{x}=\frac{1}{12}+\frac{1}{6}\)
\(\displaystyle \frac{2}{x}=\frac{1}{4}\)
\(x=8\)
\(\displaystyle \frac{2}{x}=\frac{1}{4}\)
\(x=8\)
5.等差数列である\(3\)つの数があって、それらの和が\(9\)、積が\(15\)である。この\(3\)つの数を求めなさい。
等差数列を\(a-d,a,a+d\)とする。
和が\(9\)より、
\((a-d)+a+(a+d)=9\)
\(3a=9\)
\(a=3\)
積が\(15\)より、
\(a(a-d)(a+d)=15\)
\((3-d)(3+d)=5\)
\(9-d^2=5\)
\(d^2=4\)
\(d=\pm2\)
\(d=2\)のとき、\(1,3,5\)
\(d=-2\)のとき、\(5,3,1\)
よって、\(1,3,5\)
和が\(9\)より、
\((a-d)+a+(a+d)=9\)
\(3a=9\)
\(a=3\)
積が\(15\)より、
\(a(a-d)(a+d)=15\)
\((3-d)(3+d)=5\)
\(9-d^2=5\)
\(d^2=4\)
\(d=\pm2\)
\(d=2\)のとき、\(1,3,5\)
\(d=-2\)のとき、\(5,3,1\)
よって、\(1,3,5\)
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