1.次の等差数列の和を求めなさい。
(1)初項\(10\)、公差\(-4\)、項数\(15\)
\(\displaystyle S_{15}=\frac{15\{2・10+14・(-4)\}}{2}\)
\(\ \ \ \ =-270\)
(2)初項\(2\)、末項\(10\)、項数\(9\)
\(\displaystyle S_9=\frac{9(2+10)}{2}\)
\(\ \ \ \ =54\)
(3)\(2,6,10,\cdots,74\)
項数を求める。
\(2+4(n-1)=74\)
\(n=19\)
よって、
\(\displaystyle S_{19}=\frac{19(2+74)}{2}\)
\(\ \ \ \ \ =722\)
(4)\(102,96,90,\cdots,6\)
項数を求める。
\(102-6(n-1)=6\)
\(n=17\)
よって、
\(\displaystyle S_{17}=\frac{17(102+6)}{2}\)
\(\ \ \ \ \ =918\)
2.次の等差数列の和\(S_n\)を求めなさい。
(1)初項\(1\)、公差\(2\)
\(\displaystyle S_n=\frac{n\{2・1+2(n-1)\}}{2}\)
\(\ \ \ \ =n^2\)
(2)初項\(7\)、公差\(-3\)
\(\displaystyle S_n=\frac{n\{2・7+(n-1)・(-3)\}}{2}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =-\frac{3}{2}n^2+\frac{17}{2}n\)
(3)第\(3\)項が\(2\)、第\(5\)項が\(-1\)
初項が\(a\)、公差が\(d\)とすると、
\(a_3=a+2d=2\)
\(a_5=a+4d=-1\)
これを解くと、
\(\displaystyle a=5,d=-\frac{3}{2}\)
よって、
\(\displaystyle S_n=\frac{n\{2・5+(n-1)・(-\frac{3}{2})\}}{2}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =-\frac{3}{4}n^2+\frac{23}{4}n\)
(4)初項から第\(10\)項までの和が\(100\)、初項から第\(20\)項までの和が\(400\)
初項が\(a\)、公差が\(d\)とすると、
\(\displaystyle S_{10}=\frac{10(2a+9d)}{2}=100\)
\(\displaystyle S_{20}=\frac{20(2a+19d)}{2}=400\)
これを解くと、
\(a=1,d=2\)
よって、
\(\displaystyle S_n=\frac{n\{2・1+2(n-1)\}}{2}\)
\(\ \ \ \ =n^2\)
(5)初項から第\(5\)項までの和が\(10\)、第\(6\)項から第\(10\)項までの和が\(60\)
初項が\(a\)、公差が\(d\)とすると、
\(\displaystyle S_5=\frac{5(2a+4d)}{2}=10\)
\(S_{10}-S_5\)
\(\displaystyle =\frac{10(2a+9d)}{2}-\frac{5(2a+4d)}{2}\)
\(=60-10\)
これを解くと、
\(a=-2,d=2\)
よって、
\(\displaystyle S_n=\frac{n\{2・(-2)+2(n-1)\}}{2}\)
\(\ \ \ \ =n^2-3n\)
3.初項\(50\)、末項\(10\)、和\(330\)の等差数列の項数\(n\)と公差\(d\)を求めなさい。
項数を求める。
\(\displaystyle \frac{n(50+10)}{2}=330\)
\(30n=330\)
\(n=11\)
公差を求める。
\(50+(11-1)d=10\)
\(10d=-40\)
\(d=-4\)
4.初項\(77\)、公差\(-3\)の等差数列がある。
(1)第何項で初めて負の数になるか答えなさい。
\(77-3(n-1)<0\)
\(3n>80\)
\(n>26.6\)
よって、第\(27\)項で初めて負の数になる。
(2)初項から第何項までの和が最大になるか、最大値を求めなさい。
第\(26\)項までの和が最大になるので、
よって、
\(\displaystyle S_{26}=\frac{26\{2・77-3(26-1)\}}{2}\)
\(\ \ \ \ \ =1027\)
5.第\(7\)項が\(5\)、第\(20\)項が\(-21\)の等差数列がある。
(1)初項\(a\)、公差\(d\)を求めなさい。
\(a_7=a+6d=5\)
\(a_20=a+19d=-21\)
これを解くと、
\(a=17,d=-2\)
(2)初項から第何項までの和が最大になるか、最大値を求めなさい。
\(17-2(n-1)<0\)
\(2n>19\)
\(n>9.5\)
第\(10\)項で初めて負の数になるので、第\(9\)項までの和が最大になる。
よって、
\(\displaystyle S_9=\frac{9\{2・17-2(9-1)\}}{2}\)
\(\ \ \ \ =81\)
6.\(1\)から\(100\)までの自然数について、次の和を求めなさい。
(1)\(6\)の倍数
\(6,12,18,\cdots,96\)
\(a=6,l=96,n=16\)の等差数列なので、
\(\displaystyle S_{16}=\frac{16(6+96)}{2}\)
\(\ \ \ \ \ =816\)
(2)\(6\)の倍数ではない数
\(1\)から\(100\)までの和から\(6\)の倍数の和を引けばよい。
\(\displaystyle S_{100}=\frac{100(1+100)}{2}\)
\(\ \ \ \ \ \ =5050\)
よって、
\(5050-816=4234\)