【高校数学B】1-1-4 等比数列｜問題集
1.次の等比数列の一般項を求めなさい。また、第\(5\)項を求めなさい。
(1)初項\(2\)、公比\(3\)
一般項
\(a_n=2・3^{n-1}\)
\(\ \ \ \ =2・3^{n-1}\)
第\(5\)項
\(a_{5}=2・3^{5-1}\)
\(\ \ \ \ =162\)
\(a_n=2・3^{n-1}\)
\(\ \ \ \ =2・3^{n-1}\)
第\(5\)項
\(a_{5}=2・3^{5-1}\)
\(\ \ \ \ =162\)
(2)初項\(1\)、公比\(-3\)
一般項
\(a_n=1・(-3)^{n-1}\)
\(\ \ \ \ =(-3)^{n-1}\)
第\(5\)項
\(a_{5}=(-3)^{5-1}\)
\(\ \ \ \ =81\)
\(a_n=1・(-3)^{n-1}\)
\(\ \ \ \ =(-3)^{n-1}\)
第\(5\)項
\(a_{5}=(-3)^{5-1}\)
\(\ \ \ \ =81\)
(3)初項\(-3\)、公比\(\displaystyle \frac{1}{2}\)
一般項
\(\displaystyle a_n=-3・\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)
第\(5\)項
\(\displaystyle a_{5}=-3・\left(\frac{1}{2}\right)^{5-1}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =-\frac{3}{16}\)
\(\displaystyle a_n=-3・\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)
第\(5\)項
\(\displaystyle a_{5}=-3・\left(\frac{1}{2}\right)^{5-1}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =-\frac{3}{16}\)
2.次の等比数列の一般項を求めなさい。
(1)\(\displaystyle \frac{3}{2},\frac{3}{4},\frac{3}{8},\frac{3}{16},\cdots\)
初項\(\displaystyle \frac{3}{2}\)、公比\(\displaystyle \frac{1}{2}\)の等比数列なので、
\(\displaystyle a_n=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)
\(\displaystyle a_n=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)
(2)\(1,-3,9,-27,81,\cdots\)
初項\(1\)、公比\(-3\)の等比数列なので、
\(a_n=1・(-3)^{n-1}\)
\(\ \ \ \ =(-3)^{n-1}\)
\(a_n=1・(-3)^{n-1}\)
\(\ \ \ \ =(-3)^{n-1}\)
(3)\(\sqrt{2},2+\sqrt{2},4+3\sqrt{2},\cdots\)
\(\displaystyle \frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1+\sqrt{2}\)
初項\(\sqrt{2}\)、公比\(1+\sqrt{2}\)の等比数列なので、
\(a_n=\sqrt{2}・(1+\sqrt{2})^{n-1}\)
初項\(\sqrt{2}\)、公比\(1+\sqrt{2}\)の等比数列なので、
\(a_n=\sqrt{2}・(1+\sqrt{2})^{n-1}\)
(4)第\(2\)項が\(6\)、第\(4\)項が\(54\)
初項が\(a\)、公比が\(r\)とすると、
\(a_2=ar=6\)
\(a_4=ar^3=54\)
これを解くと、
\(a=2,r=3\)
\(a=-2,r=-3\)
よって、
\(a_n=2・3^{n-1}\)
\(a_n=-2・(-3)^{n-1}\)
\(a_2=ar=6\)
\(a_4=ar^3=54\)
これを解くと、
\(a=2,r=3\)
\(a=-2,r=-3\)
よって、
\(a_n=2・3^{n-1}\)
\(a_n=-2・(-3)^{n-1}\)
(5)第\(5\)項が\(-9\)、第\(7\)項が\(-27\)
初項が\(a\)、公比が\(r\)とすると、
\(a_5=ar^4=-9\)
\(a_7=ar^6=-27\)
これを解くと、
\(a=-1,r=\sqrt{3}\)
\(a=-1,r=-\sqrt{3}\)
よって、
\(a_n=-(\sqrt{3})^{n-1}\)
\(a_n=-(-\sqrt{3})^{n-1}\)
\(a_5=ar^4=-9\)
\(a_7=ar^6=-27\)
これを解くと、
\(a=-1,r=\sqrt{3}\)
\(a=-1,r=-\sqrt{3}\)
よって、
\(a_n=-(\sqrt{3})^{n-1}\)
\(a_n=-(-\sqrt{3})^{n-1}\)
(6)第\(2\)項が\(8\)、第\(5\)項が\(1\)
初項が\(a\)、公比が\(r\)とすると、
\(a_2=ar=8\)
\(a_5=ar^4=1\)
これを解くと、
\(\displaystyle a=16,r=\frac{1}{2}\)
よって、
\(\displaystyle a_n=16\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)
\(a_2=ar=8\)
\(a_5=ar^4=1\)
これを解くと、
\(\displaystyle a=16,r=\frac{1}{2}\)
よって、
\(\displaystyle a_n=16\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)
3.次の数列が等比数列のとき、\(x,y\)の値を求めなさい。
(1)\(3,x,9,\cdots\)
\(x^2=3・9\)
\(x=\pm3\sqrt{3}\)
\(x=\pm3\sqrt{3}\)
(2)\(x,-5,x,y,\cdots\)
\((-5)^2=x^2\)
\(x=\pm5\)
よって、
\(x=5,y=-5\)
\(x=-5,y=-5\)
\(x=\pm5\)
よって、
\(x=5,y=-5\)
\(x=-5,y=-5\)
4.\(24,a,b\)がこの順で等差数列で、\(a,b,8\)がこの順で等比数列である。\(a,b\)の値を求めなさい。
等差数列より、
\(2a=24+b\)
等比数列より、
\(b^2=8a\)
\(b^2=4(24+b)\)
\(b^2-4b-96=0\)
\((b+8)(b-12)=0\)
\(b=-8,12\)
よって、
\(a=8,b=-8\)
\(a=18,b=12\)
\(2a=24+b\)
等比数列より、
\(b^2=8a\)
\(b^2=4(24+b)\)
\(b^2-4b-96=0\)
\((b+8)(b-12)=0\)
\(b=-8,12\)
よって、
\(a=8,b=-8\)
\(a=18,b=12\)
5.\(a,b,10\)がこの順で等差数列で、\(1,a,b\)がこの順で等比数列である。\(a,b\)の値を求めなさい。
等差数列より、
\(2b=a+10\)
等比数列より、
\(a^2=b\)
\(2a^2-a-10=0\)
\((a+2)(2a-5)=0\)
\(\displaystyle a=-2,\frac{5}{2}\)
よって、
\(a=-2,b=4\)
\(\displaystyle a=\frac{5}{2},b=\frac{25}{4}\)
\(2b=a+10\)
等比数列より、
\(a^2=b\)
\(2a^2-a-10=0\)
\((a+2)(2a-5)=0\)
\(\displaystyle a=-2,\frac{5}{2}\)
よって、
\(a=-2,b=4\)
\(\displaystyle a=\frac{5}{2},b=\frac{25}{4}\)
6.異なる数\(x,y,z\)があり、\(x+y+z=3\)である。\(x,y,z\)がこの順で等差数列で、\(z,x,y\)がこの順で等比数列である。\(x,y,z\)の値を求めなさい。
等差数列より、
\(2y=x+z\)
等比数列より、
\(x^2=yz\)
これを解くと、
\(x=-2,y=1,z=4\)
\(2y=x+z\)
等比数列より、
\(x^2=yz\)
これを解くと、
\(x=-2,y=1,z=4\)
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