【高校数学B】1-1-5 等比数列の和｜要点まとめ
このページでは、高校数学Bの「等比数列の和」について整理しています。等比数列の和の公式とその導出、初項・公比・項数を使った計算方法をわかりやすく解説し、定期テストや大学入試対策に役立つ要点を効率的に確認できます。
等比数列の和の公式
【等比数列の和】
初項\(a\)、公比\(r\)、項数\(n\)の等比数列の和\(S_n\)は、
(1)\(r<1\)のとき、
\(\displaystyle S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}\)
(2)\(r>1\)のとき、
\(\displaystyle S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\)
(3)\(r=1\)のとき、
\(S_n=na\)
【例題】次の等比数列の和を求めなさい。
(1)初項\(3\)、公比\(2\)
\(\displaystyle S_n=\frac{3(2^n-1)}{2-1}\)
\(\ \ \ \ =3(2^n-1)\)
\(\ \ \ \ =3(2^n-1)\)
(2)初項\(1\)、公比\(\displaystyle \frac{1}{2}\)
\(\displaystyle S_n=\frac{1\{1-(\frac{1}{2})^n\}}{1-\frac{1}{2}}\)
\(\ \ \ \ =2(1-2^{-n})\)
\(\ \ \ \ =2(1-2^{-n})\)
(3)\(2,4,8,\cdots,128\)
項数を求める。
\(2・2^{n-1}=128\)
\(2^n=128\)
\(n=7\)
よって、
\(\displaystyle S_n=\frac{2(2^7-1)}{2-1}\)
\(\ \ \ \ =254\)
\(2・2^{n-1}=128\)
\(2^n=128\)
\(n=7\)
よって、
\(\displaystyle S_n=\frac{2(2^7-1)}{2-1}\)
\(\ \ \ \ =254\)
(4)\(-3,9,-27,\cdots,729\)
項数を求める。
\(-3・(-3)^{n-1}=729\)
\((-3)^{n}=729\)
\(n=6\)
よって、
\(\displaystyle S_n=\frac{-3\{1-(-3)^6\}}{1-(-3)}\)
\(\ \ \ \ =546\)
\(-3・(-3)^{n-1}=729\)
\((-3)^{n}=729\)
\(n=6\)
よって、
\(\displaystyle S_n=\frac{-3\{1-(-3)^6\}}{1-(-3)}\)
\(\ \ \ \ =546\)
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