1-1-5 等比数列の和(要点)

【等比数列の和】

初項\(a\)、公比\(r\)、項数\(n\)の等比数列の和\(S_n\)は、
(1)\(r<1\)のとき、
\(\displaystyle S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}\)

(2)\(r>1\)のとき、
\(\displaystyle S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\)

(3)\(r=1\)のとき、
\(S_n=na\)

【例題】次の等比数列の和を求めなさい。

(1)初項\(3\)、公比\(2\)

\(\displaystyle S_n=\frac{3(2^n-1)}{2-1}\)
\(\ \ \ \ =3(2^n-1)\)

(2)初項\(1\)、公比\(\displaystyle \frac{1}{2}\)

\(\displaystyle S_n=\frac{1\{1-(\frac{1}{2})^n\}}{1-\frac{1}{2}}\)
\(\ \ \ \ =2(1-2^{-n})\)

(3)\(2,4,8,\cdots,128\)

項数を求める。
\(2・2^{n-1}=128\)
\(2^n=128\)
\(n=7\)
よって、
\(\displaystyle S_n=\frac{2(2^7-1)}{2-1}\)
\(\ \ \ \ =254\)

(4)\(-3,9,-27,\cdots,729\)

項数を求める。
\(-3・(-3)^{n-1}=729\)
\((-3)^{n}=729\)
\(n=6\)
よって、
\(\displaystyle S_n=\frac{-3\{1-(-3)^6\}}{1-(-3)}\)
\(\ \ \ \ =546\)