【高校数学B】1-2-2 階差数列｜要点まとめ

この数列の階差数列は
\(2,4,8,16,\cdots\)
初項\(2\)、公比\(2\)の等比数列なので、
\(b_n=2・2^{n-1}\)
\(\ \ \ \ =2^n\)
したがって、\(n\geqq2\)のとき、一般項は
\(\displaystyle a_n=3+\sum_{k=1}^{n-1}2^k\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =3+\frac{2(2^{n-1}-1)}{2-1}\)
\(\ \ \ \ =2^n+1\)
\(a_1=3\)なので、\(n=1\)のときも成り立つ。
よって、
\(a_n=2^n+1\)

この数列の階差数列は
\(3,5,7,9,\cdots\)
初項\(3\)、公差\(2\)の等差数列なので、
\(b_n=3+2(n-1)\)
\(\ \ \ \ =2n+1\)
したがって、\(n\geqq2\)のとき、一般項は
\(\displaystyle a_n=5+\sum_{k=1}^{n-1}(2k+1)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =5+2・\frac{1}{2}n(n-1)+(n-1)\)
\(\ \ \ \ =5+n^2-n+n-1\)
\(\ \ \ \ =n^2+4\)
\(a_1=5\)なので、\(n=1\)のときも成り立つ。
よって、
\(a_n=n^2+4\)

\(n\geqq2\)のとき、一般項は
\(\displaystyle a_n=(3n^2-n)-\{3(n-1)^2-(n-1)\}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =3n^2-n-3n^2+6n-3+n-1\)
\(\ \ \ \ =6n-4\)
\(a_1=2,S_1=2\)なので、\(n=1\)のときも成り立つ。
よって、
\(a_n=6n-4\)

\(n\geqq2\)のとき、一般項は
\(\displaystyle a_n=(2^n-1)-(2^{n-1}-1)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ =2^n-2^{n-1}\)
\(\ \ \ \ =2^{n-1}(2-1)\)
\(\ \ \ \ =2^{n-1}\)
\(a_1=1,S_1=1\)なので、\(n=1\)のときも成り立つ。
よって、
\(a_n=2^{n-1}\)