【高校数学B】1-3-2 数学的帰納法｜問題集

(1)\(n=1\)のとき、
(左辺)\(=1(1+1)=2\)
(右辺)\(\displaystyle =\frac{1}{3}・1・2・3=2\)
よって、等式は成り立つ。

(2)\(n=k\)のとき、
\(1・2+2・3+3・4+・・・+k(k+1)\)
\(\displaystyle \ \ \ =\frac{1}{3}k(k+1)(k+2)\)
が成り立つとする。
\(n=k+1\)のとき、
(左辺)
\(=1・2+2・3+3・4+・・・\)
\(\ \ \ +k(k+1)+(k+1)(k+2)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{3}k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{3}(k+1)(k+2)(k+3)\)
\(\displaystyle =\)(右辺)
よって、\(n=k+1\)のとき、等式は成り立つ。

(1)、(2)より、等式は全ての自然数\(n\)について成り立つ。

(1)\(n=3\)のとき、
(左辺)\(=2^3=8\)
(右辺)\(=2・3+1=7\)
よって、不等式は成り立つ。

(2)\(n=k\)のとき、
\(\displaystyle 2^k>2k+1\)
が成り立つとする。
\(n=k+1\)のとき、
(左辺\(-\)右辺)\(\displaystyle =2^{k+1}-2(k+1)-1\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2・2^k-2k-3\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ >2(2k+1)-2k-3\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =4k+2-2k-3\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2k-1\)
\(k\geqq 3\)より、
\(\displaystyle 2^{k+1}>2(k+1)+1\)
よって、\(n=k+1\)のとき、不等式は成り立つ。

(1)、(2)より、不等式は\(3\)以上の自然数について成り立つ。

(1)\(n=1\)のとき、
\(=6^1-1=5\)
よって、\(5\)の倍数となる。

(2)\(n=k\)のとき、\(m\)を整数とすると、
\(\displaystyle 6^k-1=5m\)
\(n=k+1\)のとき、
\(\displaystyle 6^{k+1}-1\)
\(\displaystyle =6・6^k-1\)
\(\displaystyle =6(5m+1)-1\)
\(\displaystyle =30m+5\)
\(\displaystyle =5(6m+1)\)
よって、\(n=k+1\)のとき、\(5\)の倍数となる。

(1)、(2)より、全ての自然数\(n\)について、\(5\)の倍数となる。

条件より、
\(\displaystyle a_1=\frac{1}{2}\)
\(\displaystyle a_2=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+1}=\frac{1}{3}\)
\(\displaystyle a_3=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}+1}=\frac{1}{4}\)
\(\displaystyle a_4=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}+1}=\frac{1}{5}\)
一般項は
\(\displaystyle a_n=\frac{1}{n+1}\)

(1)\(n=1\)のとき、
\(\displaystyle a_1=\frac{1}{2}\)
よって、成り立つ。

(2)\(n=k\)のとき、
\(\displaystyle a_k=\frac{1}{k+1}\)
が成り立つとする。
\(n=k+1\)のとき、
\(\displaystyle a_{k+1}=\frac{a_k}{a_k+1}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ =\frac{\frac{1}{k+1}}{\frac{1}{k+1}+1}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{(k+1)+1}\)
よって、\(n=k+1\)のとき、成り立つ。

(1)、(2)より、全ての自然数\(n\)について成り立つ。