【線形代数】1-1-1 平面ベクトルの長さと内積｜問題集
1.次の問いに答えなさい。
(1)\(\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix}-2 \\ 5\end{pmatrix},\boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}3 \\ 1\end{pmatrix}\)の内積
\((\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})=-2・3+5・1=-1\)
(2)\(\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix}1 \\ -\sqrt{3}\end{pmatrix},\boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}-1 \\ 0\end{pmatrix}\)のなす角
\(||a||=2,||b||=1,(a,b)=-1\)より
\(\displaystyle \cos\theta=-\frac{1}{2}\)
\(\displaystyle \theta=\frac{2}{3}\pi\)
\(\displaystyle \cos\theta=-\frac{1}{2}\)
\(\displaystyle \theta=\frac{2}{3}\pi\)
(3)3点\(A(-1,4),B(3,2),C(m,5)\)が同一直線上にあるときの\(m\)の値
\(AB=\begin{pmatrix}3-(-1) \\ 2-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 \\ -2\end{pmatrix}\)
\(AC=\begin{pmatrix}m-(-1) \\ 5-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}m+1 \\ 1\end{pmatrix}\)
3点が同一直線上なので
\(AB=\begin{pmatrix}m+1 \\ 1\end{pmatrix}=k\begin{pmatrix}4 \\ -2\end{pmatrix}\)
よって、\(m=-3\)
\(AC=\begin{pmatrix}m-(-1) \\ 5-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}m+1 \\ 1\end{pmatrix}\)
3点が同一直線上なので
\(AB=\begin{pmatrix}m+1 \\ 1\end{pmatrix}=k\begin{pmatrix}4 \\ -2\end{pmatrix}\)
よって、\(m=-3\)
(4)2点\(A(-3,2),B(2,-8)\)があるとき、線分\(AB\)を\(3:2\)に内分する点\(M\)、外分する点\(N\)の座標
内分点\(M\)は
\(\displaystyle \left(\frac{2・(-3)+3・2}{3+2},\frac{2・2+3・(-8)}{3+2}\right)=(0,-4)\)
外分点\(M\)は
\(\displaystyle \left(\frac{-2・(-3)+3・2}{3-2},\frac{-2・2+3・(-8)}{3-2}\right)=(12,-28)\)
\(\displaystyle \left(\frac{2・(-3)+3・2}{3+2},\frac{2・2+3・(-8)}{3+2}\right)=(0,-4)\)
外分点\(M\)は
\(\displaystyle \left(\frac{-2・(-3)+3・2}{3-2},\frac{-2・2+3・(-8)}{3-2}\right)=(12,-28)\)
(5)2点\(A(-1,2),B(2,-1)\)を通る直線を\(l\)とする。原点\(O\)から直線\(l\)に下ろした垂線と\(l\)との交点\(P\)の座標
内分点\(M\)は
\(\displaystyle \left(\frac{2・(-3)+3・2}{3+2},\frac{2・2+3・(-8)}{3+2}\right)=(0,-4)\)
外分点\(M\)は
\(\displaystyle \left(\frac{-2・(-3)+3・2}{3-2},\frac{-2・2+3・(-8)}{3-2}\right)=(12,-28)\)
\(\displaystyle \left(\frac{2・(-3)+3・2}{3+2},\frac{2・2+3・(-8)}{3+2}\right)=(0,-4)\)
外分点\(M\)は
\(\displaystyle \left(\frac{-2・(-3)+3・2}{3-2},\frac{-2・2+3・(-8)}{3-2}\right)=(12,-28)\)
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