【微分積分】1-1-1 数列の極限の定義｜要点まとめ
このページでは、大学数学の微分積分で扱う「数列の極限の定義」について整理します。イプシロン・デルタ論法を用いた極限の厳密な定義や、直感的な理解との違いを解説します。例題やグラフを通して、極限の考え方を明確にし、論理的な数学的思考力を養いましょう。
極限の定義を理解するためのイプシロン・デルタ論法
【\(\varepsilon-\delta\)論法】
\(a,b\in\mathbb{R}\)とする。任意の\(\varepsilon>0\)に対して
\(|a-b|<\varepsilon\)
が成り立つならば、\(a=b\)である。
【数列の極限】
(1)数列\(\{a_n\}^\infty_{n=1}\)と実数\(\alpha\)が「任意の\(\varepsilon>0\)に対して、ある自然数\(N(\varepsilon)\)が存在して、\(n\geqq N(\varepsilon)\)を満たす任意の自然数\(n\)について\(|a_n-\alpha|<\varepsilon\)を満たす」とき、数列\(\{a_n\}^\infty_{n=1}\)の極限値は\(\alpha\)であるといい、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha\)または\(a_n\rightarrow\alpha(n\rightarrow\infty)\)
で表す。このとき、数列\(\{a_n\}^\infty_{n=1}\)は\(\alpha\)に収束する。
(2)数列\(\{a_n\}^\infty_{n=1}\)がどのような実数\(\alpha\)にも収束しないとき発散する。さらに「任意の\(K>0\)に対して、ある自然数\(N(K)\)が存在して、\(n\geqq N(K)\)を満たす任意の自然数\(n\)について\(a_n>K\)を満たす」とき、数列\(\{a_n\}^\infty_{n=1}\)は\(\infty\)に発散するといい、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\infty\)
で表す。また「任意の\(K<0\)に対して、ある自然数\(N(K)\)が存在して、\(n\geqq N(K)\)を満たす任意の自然数\(n\)について\(a_n< K\)を満たす」とき、数列\(\{a_n\}^\infty_{n=1}\)は\(-\infty\)に発散するといい、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=-\infty\)
で表す。
【極限の一意性】
数列\(\{a_n\}^\infty_{n=1}\)が収束するならば、極限値は一意的である。
【例題】次の数列の極限を求めなさい。
\(\displaystyle N(\varepsilon)>\frac{1}{\varepsilon}\)
よって、\(n\geqq N(\varepsilon)\)となる任意の自然数\(n\)に対して、
\(\displaystyle \left|\frac{1}{n}-0\right|=\frac{1}{n}\leqq\frac{1}{N(\varepsilon)}<\varepsilon\)
極限の定義より、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0\)
\(\displaystyle N(\varepsilon)>\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}\)
よって、\(n\geqq N(\varepsilon)\)となる任意の自然数\(n\)に対して、
\(\displaystyle \left|\frac{1}{n^2}-0\right|=\frac{1}{n^2}\leqq\frac{1}{N(\varepsilon)^2}<\varepsilon\)
極限の定義より、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}=0\)
\(\displaystyle n>\frac{2}{\varepsilon}-1\)
任意の\(0<\varepsilon<2\)に対して、自然数\(\displaystyle N(\varepsilon)=\left[\frac{2}{\varepsilon}\right]\)とすれば
\(\displaystyle \left|\frac{3n+5}{n+1}-3\right|=\frac{2}{n+1}\leqq\frac{2}{N(\varepsilon)+1}<\varepsilon\)
極限の定義より、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{3n+5}{n+1}=3\)