【線形代数】1-2-1 空間ベクトルの長さと内積｜問題集

Q: 2点を通る直線のベクトル方程式はどのように求めますか？

通過点 A の位置ベクトル a と、2 点を結ぶ方向ベクトル d (= B - A) を用いて、位置ベクトル p = a + t * d（t は媒介変数）という形式で表します。

Q: 直線のベクトル方程式から媒介変数 t を消去するにはどうすればよいですか？

各成分ごとの関係式（x = a1 + t * d1, y = a2 + t * d2）を立て、それぞれの式を t = ... の形に変形して等しく置くことで t を消去し、xy の方程式（直線の方程式）が得られます。

Q: この問題集ページはどのように活用すればよいですか？

まず要点ページで定義や公式を確認し、その後この問題集ページで基本問題・練習問題を解くのがおすすめです。解答ボタンで答え合わせを行い、自力で途中の計算や証明が再現できるまで繰り返し演習しましょう。

Question 1

(1)3点\(A(1,2,4),B(2,5,6),C(m,n,10)\)が同一直線上にあるときの\(m,n\)の値を求めなさい。

Answer

\(AB=\begin{pmatrix}2-1 \\ 5-2 \\ 6-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ 2\end{pmatrix}\)
\(AC=\begin{pmatrix}m-1 \\ n-2 \\ 10-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}m-1 \\ n-2 \\ 6\end{pmatrix}\)
3点が同一直線上なので
\(AB=\begin{pmatrix}m-1 \\ n-2 \\ 6\end{pmatrix}=k\begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ 2\end{pmatrix}\)
よって、\(m=4,n=11\)

Question 2

(2)2点\(A(0,3,7),B(3,-3,1)\)があるとき、線分\(AB\)を\(4:3\)に内分する点\(M\)、外分する点\(N\)の座標を求めなさい。

Answer

内分点\(M\)は
\(\displaystyle \left(\frac{3・0+4・3}{4+3},\frac{3・3+4・(-3)}{4+3},\frac{3・7+4・1}{4+3}\right)=\left(\frac{12}{7},-\frac{3}{7},\frac{25}{7}\right)\)
外分点\(N\)は
\(\displaystyle \left(\frac{-3・0+4・3}{4-3},\frac{-3・3+4・(-3)}{4-3},\frac{-3・7+4・1}{4-3}\right)=(12,-21,-17)\)

Question 3

(3)2点\(A(0,1,1),B(1,3,0)\)を通る直線を\(l\)とする。原点\(O\)から直線\(l\)に下ろした垂線と\(l\)との交点\(P\)の座標を求めなさい。

Answer

\(AB=\begin{pmatrix}1-0 \\ 3-1 \\ 0-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix}\)
位置ベクトルを\(OA=\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\)とすると、
\(OP=\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}t \\ 1+2t \\ 1-t\end{pmatrix}\)
\(OP・AB=0\)より
\(t・1+(1+2t)・2+(1-t)・(-1)=0\)
\(\displaystyle t=-\frac{1}{6}\)
よって、\(\displaystyle P\left(-\frac{1}{6},\frac{2}{3},\frac{7}{6}\right)\)