【線形代数】1-2-1 空間ベクトルの長さと内積｜要点まとめ

空間ベクトルの性質

【ベクトルの定義】
空間ベクトル\(\boldsymbol{a}\)は
\(\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2\\ a_3\end{pmatrix}\)
のように実数\(a_1,a_2,a_3\)を用いて成分表示される。
また、全ての成分が0であるベクトルを零ベクトルといい、\(\boldsymbol{0}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}\)で表す。
さらに、空間ベクトル全体のなす集合を
\(\displaystyle \mathbb{R}^3=\left\{\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix}|a_1,a_2,a_3\in\mathbb{R}\right\}\)
とおき、長さ\(||\boldsymbol{a}||\)は
\(||\boldsymbol{a}||:=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)
で定義される。

【内積】
2つの空間ベクトル\(\boldsymbol{a}\)と\(\boldsymbol{b}\)のなす角を\(\theta(0\leqq \theta\leqq \pi)\)とするとき、\(\boldsymbol{a}\)と\(\boldsymbol{b}\)の内積は
\((\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}):=||\boldsymbol{a}||・||\boldsymbol{b}||\cos\theta\)
で定義される。

【内積の性質】
任意の空間ベクトル\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\)と実数\(k\)に対して、以下が成り立つ。
(1)\((\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b},\boldsymbol{c})=(\boldsymbol{a},\boldsymbol{c})+(\boldsymbol{b},\boldsymbol{c})\)
(2)\((\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})=(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})+(\boldsymbol{a},\boldsymbol{c})\)
(3)\((\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})=(\boldsymbol{b},\boldsymbol{a})\)
(4)\((k\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})=(\boldsymbol{a},k\boldsymbol{b})=k(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})\)
(5)\((\boldsymbol{a},\boldsymbol{a})\geqq0\)であり、\((\boldsymbol{a},\boldsymbol{a})=0\Longleftrightarrow\boldsymbol{a}=\boldsymbol{0}\)

【垂直であるための条件】
\(\boldsymbol{0}\)でない空間ベクトル\(\boldsymbol{a}\)と\(\boldsymbol{b}\)が垂直であるための必要十分条件は
\((\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})=0\)
である。このとき、\(\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}\)で表し、\(\boldsymbol{a}\)と\(\boldsymbol{b}\)は直交するという。

【有名な不等式】
任意の空間ベクトル\(\boldsymbol{a}\)と\(\boldsymbol{b}\)に対して、以下の不等式が成り立つ。
(1)(三角不等式)\(||\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}||\leqq||\boldsymbol{a}||+||\boldsymbol{b}||\)
(2)(シュワルツの不等式)\(|(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})|\leqq||\boldsymbol{a}||・||\boldsymbol{b}||\)