【線形代数】1-2-2 座標空間における直線の方程式｜問題集
1.ベクトル\(\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 3\end{pmatrix}\)、ベクトル\(\boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 4\end{pmatrix}\)について、次の値を求めなさい。
(1)\(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\)
\(=\begin{pmatrix}2-1 \\ -1+1 \\ 3+4\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 7\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 7\end{pmatrix}\)
(2)\(3\boldsymbol{b}\)
\(=3\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 4\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}-3 \\ 3 \\ 12\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}-3 \\ 3 \\ 12\end{pmatrix}\)
(3)\(||\boldsymbol{a}||\)
\(=\sqrt{2^2+(-1)^2+3^2}\)
\(=\sqrt{14}\)
\(=\sqrt{14}\)
(4)\(3\boldsymbol{b}-2\boldsymbol{a}\)
\(=\begin{pmatrix}-3 \\ 3 \\ 12\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4 \\ -2 \\ 6\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}-7 \\ 5 \\ 6\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}-7 \\ 5 \\ 6\end{pmatrix}\)
2.ベクトル\(\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix}-2 \\ -1 \\ 3\end{pmatrix}\)、ベクトル\(\boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}3 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\)について、基本ベクトル\(\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2},\boldsymbol{e_3}\)を用いて表しなさい。
(1)\(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}\)
\(=\begin{pmatrix}3 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2 \\ -1 \\ 3\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}5 \\ 1 \\ -2\end{pmatrix}\)
\(=5\boldsymbol{e_1}+\boldsymbol{e_2}-2\boldsymbol{e_3}\)
\(=\begin{pmatrix}5 \\ 1 \\ -2\end{pmatrix}\)
\(=5\boldsymbol{e_1}+\boldsymbol{e_2}-2\boldsymbol{e_3}\)
(2)\(3\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\)
\(=\begin{pmatrix}-6 \\ -3 \\ 9\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}-3 \\ -3 \\ 10\end{pmatrix}\)
\(=-3\boldsymbol{e_1}-3\boldsymbol{e_2}+10\boldsymbol{e_3}\)
\(=\begin{pmatrix}-3 \\ -3 \\ 10\end{pmatrix}\)
\(=-3\boldsymbol{e_1}-3\boldsymbol{e_2}+10\boldsymbol{e_3}\)
(3)\(\displaystyle \frac{\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}}{2}\)
\(=\begin{pmatrix}-1 \\ -\frac{1}{2} \\ \frac{3}{2}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\frac{3}{2} \\ 0 \\ \frac{1}{2}\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ 2\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\boldsymbol{e_1}-\frac{1}{2}\boldsymbol{e_2}+2\boldsymbol{e_3}\)
\(=\begin{pmatrix}\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ 2\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\boldsymbol{e_1}-\frac{1}{2}\boldsymbol{e_2}+2\boldsymbol{e_3}\)
3.次の\(x,y,z\)を求めなさい。
\(x\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\ -3 \\ 4\end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix}x+y+z \\ x+y \\ x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\ -3 \\ 4\end{pmatrix}\)
これを解くと
\(x=4,y=-7,z=5\)
これを解くと
\(x=4,y=-7,z=5\)
4.ベクトル\(\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix}-1 \\ 3 \\ 1\end{pmatrix}\)、ベクトル\(\boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}2 \\ 4 \\ -3\end{pmatrix}\)について、次の値を求めなさい。
(1)\(||\boldsymbol{b}||\)
\(=\sqrt{2^2+4^2+(-3)^2}\)
\(=\sqrt{29}\)
\(=\sqrt{29}\)
(2)\(\boldsymbol{a}・\boldsymbol{b}\)
\(=-1・2+3・4+1・(-3)\)
\(=7\)
\(=7\)
(3)\(\boldsymbol{a}\)と\(\boldsymbol{b}\)のなす角
\(\displaystyle \cos\theta=\frac{\boldsymbol{a}・\boldsymbol{b}}{||\boldsymbol{a}||||\boldsymbol{b}||}\)
\(\displaystyle \cos\theta=\frac{7}{\sqrt{11}\sqrt{29}}\)
よって、
\(\displaystyle \theta=\cos^{-1}\frac{7}{\sqrt{319}}\)
\(\displaystyle \cos\theta=\frac{7}{\sqrt{11}\sqrt{29}}\)
よって、
\(\displaystyle \theta=\cos^{-1}\frac{7}{\sqrt{319}}\)
(4)\(\boldsymbol{a}\)方向の基本ベクトル
\(\displaystyle \frac{\boldsymbol{a}}{||\boldsymbol{a}||}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{11}}\begin{pmatrix}-1 \\ 3 \\ 1\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{11}}\begin{pmatrix}-1 \\ 3 \\ 1\end{pmatrix}\)
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