【線形代数】1-2-2 座標空間における直線の方程式｜要点まとめ

座標空間における直線の方程式

【空間内の直線ベクトル方程式】
空間における直線上の点を表すベクトル\(\boldsymbol{x}\)は、直線上のある1点を表すベクトル\(\boldsymbol{a}\)と方向を表す\(\boldsymbol{0}\)でないベクトル\(\boldsymbol{v}\)を用いて
\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{v}\)
と表せる。ここで、\(t\)は実数全体を動くパラメータ(媒介変数)である。これを直線のパラメータ表示といい、\(\boldsymbol{v}\)をこの直線の方向ベクトルという。

【数ベクトル空間】
(1)\(n\)個の実数\(a_1,a_2,\cdots,a_n\)の組を縦に並べて書いた
\(\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}\)
を\(n\)次元数ベクトルという。また、\(n\)次元数ベクトル全体の集合を\(n\)次元数ベクトル空間といい、\(\mathbb{R}^n\)で表す。また、\(a_i\)を数ベクトル\(\boldsymbol{a}\)の第\(i\)成分という。
\(\displaystyle \mathbb{R}^n=\left\{\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}|a_i\in\mathbb{R}(1\leqq i\leqq n)\right\}\)
となる。2つの\(n\)次元数ベクトル\(\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix},\boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n\end{pmatrix}\)に対して、\(a_i=b_i(1\leqq i\leqq n)\)になるとき、\(\boldsymbol{a}\)と\(\boldsymbol{b}\)は等しいといい、\(\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}\)で表す。

(2)\(\mathbb{R}\)の要素をスカラーという。

(3)\(n\)次元数ベクトル\(\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix},\boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n\end{pmatrix}\)とスカラー\(\alpha\)に対して、和\(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\)とスカラー倍\(\alpha\boldsymbol{a}\)を
\(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}:=\begin{pmatrix}a_1+b_1 \\ a_2+b_2 \\ \vdots \\ a_n+b_n\end{pmatrix}\)
\(\alpha\boldsymbol{a}:=\begin{pmatrix}\alpha a_1 \\ \alpha a_2 \\ \vdots \\ \alpha a_n\end{pmatrix}\)
で定義する。

(4)成分がすべて\(0\)の数ベクトル\(\boldsymbol{0}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{pmatrix}\)を零ベクトルという。

【基本ベクトル】
第\(i\)成分だけが\(1\)で他の成分が全て\(0\)であるような\(n\)次元数ベクトルを\(\boldsymbol{e}_i\)とし、
\(\boldsymbol{e}_1=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{pmatrix},\boldsymbol{e}_2=\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0\end{pmatrix},\cdots,\boldsymbol{e}_n=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1\end{pmatrix}\)
と定義し、これらを\(\mathbb{R}^n\)の基本ベクトルという。このとき、任意の\(n\)次元数ベクトル\(\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}\)は
\(\boldsymbol{a}=a_1\boldsymbol{e}_1+a_2\boldsymbol{e}_2+\cdots+a_n\boldsymbol{e}_n\)
と表せる。この右辺の形のベクトルを\(\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\cdots,\boldsymbol{e}_n\)の1次結合という。