【線形代数】1-2-3 座標空間における平面の方程式｜問題集
1.次の平面\(H\)の方程式を求めなさい。
(1)パラメータ表示\(\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\ -4 \\ 3\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1 \\ -3 \\ 2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}3 \\ 1 \\ -2\end{pmatrix}\ \ (s,t\in\mathbb{R})\)で表される平面
\(H\)の法線ベクトルを\(\boldsymbol{n}=\begin{pmatrix}a \\ b \\ c\end{pmatrix}\)とおくと、
\(\boldsymbol{u}=\begin{pmatrix}1 \\ -3 \\ 2\end{pmatrix},\boldsymbol{v}=\begin{pmatrix}3 \\ 1 \\ -2\end{pmatrix}\)と垂直であるから、
\((\boldsymbol{n},\boldsymbol{u})=a-3b+2c=0\)
\((\boldsymbol{n},\boldsymbol{v})=3a+b-2c=0\)
法線ベクトルの1つは\(\boldsymbol{n}=\begin{pmatrix}2 \\ 4 \\ 5\end{pmatrix}\)となり、平面\(H\)は点\((2,-4,3)\)を通るので、
\(2(x-2)+4(y+4)+5(z-3)=0\)
\(2x+4y+5z=3\)
\(\boldsymbol{u}=\begin{pmatrix}1 \\ -3 \\ 2\end{pmatrix},\boldsymbol{v}=\begin{pmatrix}3 \\ 1 \\ -2\end{pmatrix}\)と垂直であるから、
\((\boldsymbol{n},\boldsymbol{u})=a-3b+2c=0\)
\((\boldsymbol{n},\boldsymbol{v})=3a+b-2c=0\)
法線ベクトルの1つは\(\boldsymbol{n}=\begin{pmatrix}2 \\ 4 \\ 5\end{pmatrix}\)となり、平面\(H\)は点\((2,-4,3)\)を通るので、
\(2(x-2)+4(y+4)+5(z-3)=0\)
\(2x+4y+5z=3\)
(2)3点\(A(1,-3,0),B(-1,4,-1),C(3,2,1)\)を通る平面
\(H\)の法線ベクトルを\(\boldsymbol{n}=\begin{pmatrix}a \\ b \\ c\end{pmatrix}\)とおくと、
\(AB=\begin{pmatrix}-2 \\ 7 \\ -1\end{pmatrix},AC=\begin{pmatrix}2 \\ 5 \\ 1\end{pmatrix}\)と垂直であるから、
\((\boldsymbol{n},AB)=-2a+7b-c=0\)
\((\boldsymbol{n},AC)=2a+5b+c=0\)
法線ベクトルの1つは\(\boldsymbol{n}=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ -2\end{pmatrix}\)となり、平面\(H\)は点\((1,-3,0)\)を通るので、
\(1(x-1)-0(y+3)-2(z-0)=0\)
\(x-2z=1\)
\(AB=\begin{pmatrix}-2 \\ 7 \\ -1\end{pmatrix},AC=\begin{pmatrix}2 \\ 5 \\ 1\end{pmatrix}\)と垂直であるから、
\((\boldsymbol{n},AB)=-2a+7b-c=0\)
\((\boldsymbol{n},AC)=2a+5b+c=0\)
法線ベクトルの1つは\(\boldsymbol{n}=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ -2\end{pmatrix}\)となり、平面\(H\)は点\((1,-3,0)\)を通るので、
\(1(x-1)-0(y+3)-2(z-0)=0\)
\(x-2z=1\)
(3)直線\(l:\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}3 \\ 1 \\ -2\end{pmatrix}\)を含み、点\(A(1,0,1)\)を通る平面
直線\(l\)上の点を\(B(-2,1,1)\)とする。
\(H\)の法線ベクトルを\(\boldsymbol{n}=\begin{pmatrix}a \\ b \\ c\end{pmatrix}\)とおくと、
\(\boldsymbol{v}=\begin{pmatrix}3 \\ 1 \\ -2\end{pmatrix},AB=\begin{pmatrix}-3 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}\)と垂直であるから、
\((\boldsymbol{n},\boldsymbol{v})=3a+b-2c=0\)
\((\boldsymbol{n},AB)=-3a+b=0\)
法線ベクトルの1つは\(\boldsymbol{n}=\begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ 3\end{pmatrix}\)となり、平面\(H\)は点\((1,0,1)\)を通るので、
\(1(x-1)+3(y-0)+3(z-1)=0\)
\(x+3y+3z=4\)
\(H\)の法線ベクトルを\(\boldsymbol{n}=\begin{pmatrix}a \\ b \\ c\end{pmatrix}\)とおくと、
\(\boldsymbol{v}=\begin{pmatrix}3 \\ 1 \\ -2\end{pmatrix},AB=\begin{pmatrix}-3 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}\)と垂直であるから、
\((\boldsymbol{n},\boldsymbol{v})=3a+b-2c=0\)
\((\boldsymbol{n},AB)=-3a+b=0\)
法線ベクトルの1つは\(\boldsymbol{n}=\begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ 3\end{pmatrix}\)となり、平面\(H\)は点\((1,0,1)\)を通るので、
\(1(x-1)+3(y-0)+3(z-1)=0\)
\(x+3y+3z=4\)
2.次の条件のパラメータ表示を求めなさい。
(1)平面\(H:2x-3y+6z=5\)のパラメータ表示
\(H\)の法線ベクトルを\(\boldsymbol{n}=\begin{pmatrix}2 \\ -3 \\ 6\end{pmatrix}\)と直交するベクトルとして\(\begin{pmatrix}3 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-3 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\)があり、平行ではない。また、\(H\)は点\((1,-1,0)\)を通るので
\(\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}3 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-3 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}3 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-3 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\)
(2)平面\(x+y+z-1=0\)と平面\(2x-y+z+1=0\)が交わってできる直線のパラメータ表示
交わってできる直線は連立方程式
\(\left\{\begin{array}{l}x+y+z-1=0 \\ 2x-y+z+1=0\end{array}\right.\)
これを解くと
\(x=2t,y=1+t,z=-3t\)
よって
\(\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2t \\ 1+t \\ -3t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ -3\end{pmatrix}\)
\(\left\{\begin{array}{l}x+y+z-1=0 \\ 2x-y+z+1=0\end{array}\right.\)
これを解くと
\(x=2t,y=1+t,z=-3t\)
よって
\(\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2t \\ 1+t \\ -3t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ -3\end{pmatrix}\)
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