【線形代数】1-2-3 座標空間における平面の方程式｜要点まとめ
このページでは、大学数学の線形代数で扱う「座標空間における平面の方程式」について解説します。平面のベクトル方程式や媒介変数（パラメータ）表示をはじめ、法線ベクトルや点と平面の距離公式など、基礎となる要点を分かりやすく整理しています。
座標空間における平面の方程式
【空間内の平面ベクトル方程式】
空間内の平面\(H\)上にある1点\(A\)の位置ベクトル\(\boldsymbol{a}\)をとり、点\(A\)とは異なる\(H\)上の2点\(B,C\)を\(\boldsymbol{u}=AB\)と\(\boldsymbol{v}=AC\)が互いに平行でないようにとる。このとき、\(H\)上の点\(P\)の位置ベクトル\(\boldsymbol{x}=OP\)は
\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{a}+s\boldsymbol{u}+t\boldsymbol{v}\)
と表せる。ここで、\(s\)と\(t\)は実数全体を動くパラメータである。これを平面のパラメータ表示という。
【例題】3点\(A(1,2,3),B(-2,5,3),C(3,-1,2)\)を通る平面がある。
パラメータ表示を\(\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}\)、媒介変数を\(s,t\)とすると
\(\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}\)
\(=OA+sAB+tAC\)
\(=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-3 \\ 3 \\ 0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2 \\ -3 \\ -1\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}1-3s+2t \\ 2+3s-3t \\ 3-t\end{pmatrix}\)
法線ベクトル
【法線ベクトル】
空間における平面\(H\)上の点\(P\)の位置ベクトル\(\boldsymbol{x}=OP\)は、\(H\)上のある1点\(A\)の位置ベクトル\(\boldsymbol{a}\)をとり、平面\(H\)に垂直な\(\boldsymbol{0}\)でないベクトル\(\boldsymbol{n}\)をとれば
\((\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a},\boldsymbol{n})=0\)
と表せる。\(\boldsymbol{n}\)をこの平面\(H\)の法線ベクトルという。
【空間内の平面の方程式】
\(\boldsymbol{n}=\begin{pmatrix}a \\ b \\ c\end{pmatrix}\neq\boldsymbol{0}\)とする。
(1)点\((x_0,y_0,z_0)\)を通り、ベクトル\(\boldsymbol{n}\)に垂直な平面の方程式は次で与えられる。
\(a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0\)
(2)1次方程式\(ax+by+cz+d=0\)は\(\boldsymbol{n}\)を法線ベクトルとする平面の方程式である。
【例題】次の平面\(H\)の方程式を求めなさい。
\(3(x-1)-2(y-2)+4(z-3)=0\)
\(3x-2y+4z-11=0\)
点と平面の距離公式
【点と平面の距離公式】
点\(A(x_0,y_0,z_0)\)と平面\(H:ax+by+cz+d=0\)の距離は
\(\displaystyle \frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)
で与えられる。