【線形代数】2-1-1 行列の定義｜要点まとめ

行列の定義

【行列】
(1)自然数\(m,n\)に対して、\(m\)行\(n\)列に実数を並べた
\(\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\)
の形のものを\(m\times n\)行列という。このとき\(m\times n\)をこの行列の型といい、実数を成分にもつ\(m\times n\)行列全体のなす集合を\(M_{m\times n}(\mathbb{R})\)で表す。
(2)行列
\(A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2j} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\)
において、\(\begin{pmatrix}a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in}\end{pmatrix}\)を\(A\)の第\(i\)行、\(\begin{pmatrix}a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj}\end{pmatrix}\)を\(A\)の第\(j\)列といい、\(a_{ij}\)を\(A\)の\((i,j)\)成分という。
(3)2個の行列\(A=(a_{ij})\)と\(B=(b_{ij})\)が等しいとは型が同じであって、全ての\(i,j\)に対して\(a_{ij}=b_{ij}\)が成り立つことである。このとき、\(A=B\)と書く。
(4)成分が全て0である行列を零行列といい、\(m\times n\)の型の零行列を\(O_{m,n}\)で表す。

正方行列

【正方行列】
行列\(A\)の行の数と列の数が等しいとき、\(A\)は正方行列という。また、\(n\times n\)行列を\(n\)次正方行列といい、\(n\)次正方行列全体の集合を\(M_n(\mathbb{R})\)と表す。
全ての成分が\(0\)である\(n\)次正方行列を\(O_n\)と書き、\(n\)次零行列という。単に\(O\)で表すこともある。

(正方行列の例)
\(A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16\end{pmatrix}\)

【対角行列】
\(n\)次正方行列\(A=(a_{ij})\)について、成分\(a_{ii}(i=1,2,\cdots,n)\)を\(A\)の対角成分という。また、対角成分以外の成分が全て\(0\)である正方行列を対角行列という。

(対角行列の例)
\(A=\begin{pmatrix}-2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 7\end{pmatrix}\)

【単位行列】
対角成分が全て\(1\)である\(n\)次正方行列を\(E_n\)と書き、\(n\)次単位行列という。単に\(E\)で表すこともある。

(単位行列の例)
\(E_3=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix},E_4=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\)

【三角行列】
\(n\)次正方行列\(A=(a_{ij})\)について、対角成分より左下の成分が全て\(0\)であるとき、つまり\(a_{ij}=0(i> j)\)であるとき、\(A\)は上三角行列という。
対角成分より右上の成分が全て\(0\)であるとき、つまり\(a_{ij}=0(i< j)\)であるとき、\(A\)は下三角行列という。
上三角行列と下三角行列を合わせて三角行列という。

(上三角行列の例)
\(A_1=\begin{pmatrix}-2 & 6 & 3 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & -4\end{pmatrix},B_1=\begin{pmatrix}9 & -7 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\)

(下三角行列の例)
\(A_2=\begin{pmatrix}-2 & 0 & 0 \\ 4 & 3 & 0 \\ 8 & 0 & 1\end{pmatrix},B_2=\begin{pmatrix}4 & 0 & 0 & 0 \\ -6 & 7 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ -1 & 5 & 9 & 15\end{pmatrix}\)