【線形代数】2-1-1 行列の定義｜要点まとめ

行列の定義

【行列】
(1)自然数\(m,n\)に対して、\(m\)行\(n\)列実数を並べた
\(\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\)
の形のものを\(m\times n\)行列という。このとき\(m\times n\)をこの行列の型といい、実数を成分にもつ\(m\times n\)行列全体のなす集合を\(M_{m\times n}(\mathbb{R})\)で表す。
(2)行列
\(A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2j} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\)
において、\(\begin{pmatrix}a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in}\end{pmatrix}\)を\(A\)の第\(i\)行、\(\begin{pmatrix}a_{1j} \\ a_{2j} & \vdots & a_{mj}\end{pmatrix}\)を\(A\)の第\(j\)列といい、\(a_{ij}\)を\(A\)の\((i,j)\)成分という。
(3)2個の行列\(A=(a_{ij})\)と\(B=(b_{ij})\)が等しいとは型が同じであって、全ての\(i,j\)に対して\(a_{ij}=b_{ij}\)が成り立つことである。このとき、\(A=B\)と書く。
(4)成分が全て0である行列を零行列といい、\(m\times n\)の型の零行列を\(O_{m,n}\)で表す。