【線形代数】2-3-2 行列の積の非可換性と零因子｜要点まとめ
このページでは、大学数学の線形代数で扱う「行列の積の非可換性（交換法則が成り立たないこと）」や「零因子」について解説します。
行列の積の非可換性と零因子
【行列の積の交換法則】
行列\(A,B\)があり、一般的に\(AB\neq BA\)である。普通は行列の積について交換法則は成り立たない。
【可換】
\(n\)次正方行列\(A\)と\(B\)が\(AB=BA\)を満たすとき、\(A\)と\(B\)は可換であるという。
【零因子】
行列\(A,B\)があり、\(A\neq O\)かつ\(B\neq O\)のとき、\(AB=O\)となることがある。このとき、\(A\)や\(B\)を零因子という。
【例題】次の行列\(A\)と\(B\)に対して、積\(AB\)と\(BA\)の計算をしなさい。
(1)\(A=\begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}3 & -1\end{pmatrix}\)
\(AB=\begin{pmatrix}3 & -1 \\ 6 & -2\end{pmatrix}\)
\(BA=1\)
\(BA=1\)
(2)\(A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}5 \\ 6\end{pmatrix}\)
\(AB=\begin{pmatrix}17 \\ 39\end{pmatrix}\)
\(B\)の列の数\(1\)と\(A\)の行の数\(2\)が不一致なので、\(BA\)は定義できない。
\(B\)の列の数\(1\)と\(A\)の行の数\(2\)が不一致なので、\(BA\)は定義できない。
(3)\(A=\begin{pmatrix}3 & 2 \\ -1 & 5\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}1 & -3 \\ 2 & 6\end{pmatrix}\)
\(AB=\begin{pmatrix}7 & 3 \\ 9 & 33\end{pmatrix}\)
\(BA=\begin{pmatrix}6 & -13 \\ 0 & 34\end{pmatrix}\)
\(BA=\begin{pmatrix}6 & -13 \\ 0 & 34\end{pmatrix}\)
(4)\(A=\begin{pmatrix}1 & 4 \\ 2 & 3\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}3 & 8 \\ 4 & 7\end{pmatrix}\)
\(AB=\begin{pmatrix}19 & 36 \\ 18 & 37\end{pmatrix}\)
\(BA=\begin{pmatrix}19 & 36 \\ 18 & 37\end{pmatrix}\)
\(BA=\begin{pmatrix}19 & 36 \\ 18 & 37\end{pmatrix}\)
(5)\(A=\begin{pmatrix}1 & -3 \\ -2 & 6\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}3 & -3 \\ 1 & -1\end{pmatrix}\)
\(AB=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}=O\)
\(BA=\begin{pmatrix}9 & -27 \\ 3 & -9\end{pmatrix}\)
\(BA=\begin{pmatrix}9 & -27 \\ 3 & -9\end{pmatrix}\)
【例題】次の行列\(A\)と\(B\)に対して、積\(A+B=\begin{pmatrix}1 & -2 \\ 0 & -3\end{pmatrix},A-B=\begin{pmatrix}-1 & 2 \\ -4 & 1\end{pmatrix}\)を満たすとき、次の計算をしなさい。
(1)\(A^2-B^2\)
与えられた条件式の和は
\(2A=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ -4 & -2\end{pmatrix}\)
\(A=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ -2 & -1\end{pmatrix}\)
与えられた条件式の差は
\(2B=\begin{pmatrix}2 & -4 \\ 4 & -4\end{pmatrix}\)
\(B=\begin{pmatrix}1 & -2 \\ 2 & -2\end{pmatrix}\)
すなわち
\(A^2=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 2 & 1\end{pmatrix}\)
\(B^2=\begin{pmatrix}-3 & 2 \\ -2 & 0\end{pmatrix}\)
よって
\(A^2-B^2=\begin{pmatrix}3 & -2 \\ 4 & 1\end{pmatrix}\)
\(2A=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ -4 & -2\end{pmatrix}\)
\(A=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ -2 & -1\end{pmatrix}\)
与えられた条件式の差は
\(2B=\begin{pmatrix}2 & -4 \\ 4 & -4\end{pmatrix}\)
\(B=\begin{pmatrix}1 & -2 \\ 2 & -2\end{pmatrix}\)
すなわち
\(A^2=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 2 & 1\end{pmatrix}\)
\(B^2=\begin{pmatrix}-3 & 2 \\ -2 & 0\end{pmatrix}\)
よって
\(A^2-B^2=\begin{pmatrix}3 & -2 \\ 4 & 1\end{pmatrix}\)
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