【線形代数】2-3-1 行列の積の定義｜要点まとめ
このページでは、大学数学の線形代数で扱う「行列の積の定義」について解説します。行列の積の計算手順や例題を分かりやすく整理しています。
行列の積
【行列の積】
\(m\times n\)行列\(A=(a_{ik})\)と\(n\times l\)行列\(B=(b_{kj})\)に対して、\(m\times l\)行列\(AB=(c_{ij})\)を
\(\displaystyle c_{ij}:=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}=a_{i1}b_{1j}+\cdots+a_{in}b_{nj}\)
で定義し、これを\(A\)と\(B\)の積という。なお、積\(AB\)は\(A\)の列の数と\(B\)の行の数が一致するときのみ定義される。
【行列の演算の性質】
\(A,B,C\)を行列とし、\(\alpha\)をスカラーとするとき、以下が成り立つ。ただし、積は定義できるものとする。
(1)(結合法則)\((AB)C=A(BC)\)
(2)\(\alpha(AB)=(\alpha A)B=A(\alpha B)\)
(3)(分配法則)\(A(B+C)=AB+AC\)
(4)(分配法則)\((A+B)C=AC+BC\)
【例題】次の計算をしなさい。
(1)\(\begin{pmatrix}2 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4 \\ 1\end{pmatrix}\)
\(=2・4+3・1\)
\(=11\)
\(=11\)
(2)\(\begin{pmatrix}1 & -3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 \\ 3\end{pmatrix}\)
\(=1・2-3・3\)
\(=-7\)
\(=-7\)
(3)\(\begin{pmatrix}-2 \\ 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1 & 4\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}-2・(-1) & -2・4 \\ 5・(-1) & 5・4\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}2 & -8 \\ -5 & 20\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}2 & -8 \\ -5 & 20\end{pmatrix}\)
(4)\(\begin{pmatrix}-4 \\ 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & -3\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}-4・1 & -4・(-3) \\ 3・1 & 3・(-3)\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}-4 & 12 \\ 3 & -9\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}-4 & 12 \\ 3 & -9\end{pmatrix}\)
(5)\(\begin{pmatrix}2 & -3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-4 & 0 \\ -5 & 2\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}2・(-4)-3・(-5) & 2・0-3・2\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}7 & -6\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}7 & -6\end{pmatrix}\)
(6)\(\begin{pmatrix}-5 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & -1 \\ 2 & 1\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}-5・3+4・(-1) & -5・(-1)+4・1\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}-7 & 9\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}-7 & 9\end{pmatrix}\)
(7)\(\begin{pmatrix}-5 & 0 \\ 3 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2 \\ 3\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}-5・(-2)+0・3 \\ 3・(-2)-1・3\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}10 \\ -9\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}10 \\ -9\end{pmatrix}\)
(8)\(\begin{pmatrix}1 & 2 \\ -4 & 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5 \\ -2\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}1・5+2・(-2) \\ -4・5+5・(-2)\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}1 \\ -30\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}1 \\ -30\end{pmatrix}\)
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