【線形代数】2-3-3 ケーリー・ハミルトンの定理｜要点まとめ
このページでは、大学数学の線形代数で重要となる「ケーリー・ハミルトンの定理」の公式と、それを利用した行列の高次多項式の計算（次数下げ）について解説します。
ケーリー・ハミルトンの定理
【ケーリー・ハミルトンの定理】
2次正方行列\(A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}\)に対して、
\(A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O\)
が成り立つ。
【例題】行列\(A=\begin{pmatrix}1 & -2 \\ 1 & 3\end{pmatrix}\)のとき、次の値を求めなさい。
(1)\(2A^3-5A^2+A+7E\)
ケーリー・ハミルトンの定理より
\(A^2-4A+5E=O\)
ここで、\(2x^3-5x^2+x+7\)を\(x^2-4x+5\)で割ると
\(2x^3-5x^2+x+7=(x^2-4x+5)(2x+3)+3x-8\)
\(A\)と\(E\)は可換なので、
\(2A^3-5A^2+A+7E\)
\(=3A-8E\)
\(=3\begin{pmatrix}1 & -2 \\ 1 & 3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}8 & 0 \\ 0 & 8\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}-5 & -6 \\ 3 & 1\end{pmatrix}\)
\(A^2-4A+5E=O\)
ここで、\(2x^3-5x^2+x+7\)を\(x^2-4x+5\)で割ると
\(2x^3-5x^2+x+7=(x^2-4x+5)(2x+3)+3x-8\)
\(A\)と\(E\)は可換なので、
\(2A^3-5A^2+A+7E\)
\(=3A-8E\)
\(=3\begin{pmatrix}1 & -2 \\ 1 & 3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}8 & 0 \\ 0 & 8\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}-5 & -6 \\ 3 & 1\end{pmatrix}\)
次の学習に進もう！