【線形代数】2-3-1 行列の積の定義｜問題集
1.次の計算をしなさい。
(1)\(\begin{pmatrix}1 & 3 \\ 2 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4 & 2 \\ 3 & 1\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}13 & 5 \\ 20 & 8\end{pmatrix}\)
(2)\(\begin{pmatrix}-1 & -2 \\ 2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 4\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}2 & -9 \\ -1 & 6\end{pmatrix}\)
(3)\(\begin{pmatrix}7 & 2 \\ -5 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & -6 \\ -2 & -8\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}17 & -58 \\ -17 & 22\end{pmatrix}\)
(4)\(\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}^2\)
\(=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}7 & 10 \\ 15 & 22\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}7 & 10 \\ 15 & 22\end{pmatrix}\)
(5)\(\begin{pmatrix}1 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & 1 \\ -1 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2 \\ 5\end{pmatrix}\)
\(=-35\)
(6)\(\begin{pmatrix}1 & 2 \\ -2 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2 & 5 \\ 1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & -1 \\ 4 & 3\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}36 & 27 \\ 5 & -19\end{pmatrix}\)
(7)\(\begin{pmatrix}-1 & -2 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-4 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}\)
\(=8\)
(8)\(\begin{pmatrix}2 \\ -3 \\ 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & -5 & -6\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}6 & -10 & 12 \\ -9 & 15 & -18 \\ 12 & -20 & 24\end{pmatrix}\)
(9)\(\begin{pmatrix}-3 & 1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1 & 3 \\ -2 & 2 \\ 5 & 1\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}11 & -5 \end{pmatrix}\)
(10)\(\begin{pmatrix}1 & 2 & -4 \\ -2 & 3 & 2 \\ 3 & 0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ -3 \\ 2\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}-14 \\ -5 \\ -2\end{pmatrix}\)
(11)\(\begin{pmatrix}3 & -2 \\ 4 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1 & 4 & 2 \\ 5 & -3 & 0\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}-13 & 18 & 6 \\ 1 & 13 & 8\end{pmatrix}\)
(12)\(\begin{pmatrix}1 & 4 & -2 \\ 0 & -1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2 & 1 \\ -1 & 0 \\ 3 & -2\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}-12 & 5 \\ 4 & -2\end{pmatrix}\)
(13)\(\begin{pmatrix}-1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ -3 & 4 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & -3 \\ 1 & -2 & 4\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}7 & -7 & 2 \\ 3 & -4 & 5 \\ 10 & -3 & -24\end{pmatrix}\)
(14)\(\begin{pmatrix}2 & -1 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5 & 3 & -1 \\ 4 & 1 & 7 \\ -2 & 0 & 6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}7 \\ 2 \\ -3\end{pmatrix}\)
\(=-17\)
2.次の行列について積が定義できる場合は計算しなさい。できない場合は理由を述べなさい。
\(A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 \\ -3 & 1 & 2\end{pmatrix}\)
\(B=\begin{pmatrix}2 & 5 \\ -1 & 0 \\ 3 & 1\end{pmatrix}\)
\(C=\begin{pmatrix}3 \\ -2 \\ 6\end{pmatrix}\)
\(D=\begin{pmatrix}4 & 1 & -2\end{pmatrix}\)
(1)\(AB\)
\(A\)の列の数\(3\)と\(B\)の行の数\(3\)が一致するので
\(AB=\begin{pmatrix}0 & 5 \\ -1 & -13\end{pmatrix}\)
\(AB=\begin{pmatrix}0 & 5 \\ -1 & -13\end{pmatrix}\)
(2)\(BA\)
\(B\)の列の数\(2\)と\(A\)の行の数\(2\)が一致するので
\(BA=\begin{pmatrix}-13 & 9 & 10 \\ -1 & -2 & 0 \\ 0 & 7 & 2\end{pmatrix}\)
\(BA=\begin{pmatrix}-13 & 9 & 10 \\ -1 & -2 & 0 \\ 0 & 7 & 2\end{pmatrix}\)
(3)\(CD\)
\(C\)の列の数\(1\)と\(D\)の行の数\(1\)が一致するので
\(CD=\begin{pmatrix}12 & 3 & -6 \\ -8 & -2 & 4 \\ 24 & 6 & -12\end{pmatrix}\)
\(CD=\begin{pmatrix}12 & 3 & -6 \\ -8 & -2 & 4 \\ 24 & 6 & -12\end{pmatrix}\)
(4)\(DC\)
\(D\)の列の数\(3\)と\(C\)の行の数\(3\)が一致するので
\(DC=-2\)
\(DC=-2\)
(5)\(AA\)
\(A\)の列の数\(3\)と\(A\)の行の数\(2\)が不一致なので、\(AA\)は定義できない。
(6)\(AD\)
\(A\)の列の数\(3\)と\(D\)の行の数\(1\)が不一致なので、\(AD\)は定義できない。
(7)\(AC\)
\(A\)の列の数\(3\)と\(C\)の行の数\(3\)が一致するので
\(AC=\begin{pmatrix}-1 \\ 1\end{pmatrix}\)
\(AC=\begin{pmatrix}-1 \\ 1\end{pmatrix}\)
(8)\((AB)C\)
\(AB\)の列の数\(2\)と\(C\)の行の数\(3\)が不一致なので、\((AB)C\)は定義できない。
3.次の等式を満たす\(a,b,c,d\)の値を求めなさい。
(1)\(\begin{pmatrix}3 & a \\ -2 & -7\end{pmatrix}\begin{pmatrix}7 & b \\ c & d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\)
左辺を計算すると
\(\begin{pmatrix}21+ac & 3b+ad \\ -14-7c & -2b-7d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\)
これを解くと
\(a=10,b=10,c=-2,d=-3\)
\(\begin{pmatrix}21+ac & 3b+ad \\ -14-7c & -2b-7d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\)
これを解くと
\(a=10,b=10,c=-2,d=-3\)
4.次の等式を満たすような2次正方行列\(A\)を全て求めなさい。
(1)\(A^2=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 4 & 9\end{pmatrix}\)
\(A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}\)とおくと
\(\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 4 & 9\end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix}a^2+bc & ab+bd \\ ac+cd & bc+d^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 4 & 9\end{pmatrix}\)
これを解くと
\((a,b,c,d)=\)
\((1,0,1,3),(-1,0,2,3),(1,0,-2,-3),(-1,0,-1,-3)\)
よって、求める行列\(A\)は
\(A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 1 & -3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 2 & 3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 & 0 \\ -2 & -3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ -1 & -3\end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 4 & 9\end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix}a^2+bc & ab+bd \\ ac+cd & bc+d^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 4 & 9\end{pmatrix}\)
これを解くと
\((a,b,c,d)=\)
\((1,0,1,3),(-1,0,2,3),(1,0,-2,-3),(-1,0,-1,-3)\)
よって、求める行列\(A\)は
\(A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 1 & -3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 2 & 3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 & 0 \\ -2 & -3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ -1 & -3\end{pmatrix}\)
(2)\(A^2=\begin{pmatrix}2 & 2 \\ 2 & 2\end{pmatrix}\)
\(A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}\)とおくと
\(\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 2 \\ 2 & 2\end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix}a^2+bc & ab+bd \\ ac+cd & bc+d^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 2 \\ 2 & 2\end{pmatrix}\)
これを解くと
\((a,b,c,d)=(1,1,1,1),(-1,-1,-1,-1)\)
よって、求める行列\(A\)は
\(A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1 & -1 \\ -1 & -1\end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 2 \\ 2 & 2\end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix}a^2+bc & ab+bd \\ ac+cd & bc+d^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 2 \\ 2 & 2\end{pmatrix}\)
これを解くと
\((a,b,c,d)=(1,1,1,1),(-1,-1,-1,-1)\)
よって、求める行列\(A\)は
\(A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1 & -1 \\ -1 & -1\end{pmatrix}\)
次の学習に進もう！