【線形代数】2-3-3 ケーリー・ハミルトンの定理｜問題集
1.行列\(A=\begin{pmatrix}7 & -6 \\ 4 & -3\end{pmatrix}\)のとき、次の値を求めなさい。
(1)\(A^6-5A^5+5A^4+2A^3+7A^2-4A-3E\)
ケーリー・ハミルトンの定理より
\(A^2-4A+3E=O\)
ここで、\(x^6-5x^5+5x^4+2x^3+7x^2-4x-3\)
を\(x^2-4x+3\)で割ると
\(x^6-5x^5+5x^4+2x^3+7x^2-4x-3\)
\(=(x^2-4x+3)(x^4-x^3-2x^2-3x+1)+9x-6\)
\(A\)と\(E\)は可換なので、
\(A^6-5A^5+5A^4+2A^3+7A^2-4A-3E\)
\(=9A-6E\)
\(=9\begin{pmatrix}7 & -6 \\ 4 & -3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6 & 0 \\ 0 & 6\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}57 & -54 \\ 36 & -33\end{pmatrix}\)
\(A^2-4A+3E=O\)
ここで、\(x^6-5x^5+5x^4+2x^3+7x^2-4x-3\)
を\(x^2-4x+3\)で割ると
\(x^6-5x^5+5x^4+2x^3+7x^2-4x-3\)
\(=(x^2-4x+3)(x^4-x^3-2x^2-3x+1)+9x-6\)
\(A\)と\(E\)は可換なので、
\(A^6-5A^5+5A^4+2A^3+7A^2-4A-3E\)
\(=9A-6E\)
\(=9\begin{pmatrix}7 & -6 \\ 4 & -3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6 & 0 \\ 0 & 6\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}57 & -54 \\ 36 & -33\end{pmatrix}\)
2.次の問いに答えなさい。
行列\(A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}\)に対して
\(s=a+d,t=ad-bc\)
とおく。\(A\)が\(A^2=A\)を満たすとき、\(s\)と\(t\)のとりうる値を求めなさい。
\(s=a+d,t=ad-bc\)
とおく。\(A\)が\(A^2=A\)を満たすとき、\(s\)と\(t\)のとりうる値を求めなさい。
ケーリー・ハミルトンの定理より
\(A^2-sA+tE=O\)
\(A^2=A\)より
\((s-1)A=tE\)
・\(s=1\)のとき
\(tE=O\)なので、\(t=0\)
・\(s\neq1\)のとき
\(\displaystyle A=\frac{t}{s-1}E\)となり、\(\displaystyle k=\frac{t}{s-1}\)とおく。
\(A^2=A\)より
\(k^2E=kE\)
\((k^2-k)E=O\)
これを解くと、
\(k=0\)のとき、\(s=t=0\)
\(k=1\)のとき、\(s=2,t=1\)
よって、
\((s,t)=(1,0),(0,0),(2,1)\)
\(A^2-sA+tE=O\)
\(A^2=A\)より
\((s-1)A=tE\)
・\(s=1\)のとき
\(tE=O\)なので、\(t=0\)
・\(s\neq1\)のとき
\(\displaystyle A=\frac{t}{s-1}E\)となり、\(\displaystyle k=\frac{t}{s-1}\)とおく。
\(A^2=A\)より
\(k^2E=kE\)
\((k^2-k)E=O\)
これを解くと、
\(k=0\)のとき、\(s=t=0\)
\(k=1\)のとき、\(s=2,t=1\)
よって、
\((s,t)=(1,0),(0,0),(2,1)\)
次の学習に進もう！