【線形代数】2-3-3 ケーリー・ハミルトンの定理｜問題集
1.行列\(A=\begin{pmatrix}7 & -6 \\ 4 & -3\end{pmatrix}\)のとき、次の値を求めなさい。
(1)\(A^6-5A^5+5A^4+2A^3+7A^2-4A-3E\)
ケーリー・ハミルトンの定理より
\(A^2-4A+3E=O\)
ここで、\(x^6-5x^5+5x^4+2x^3+7x^2-4x-3\)
を\(x^2-4x+3\)で割ると
\(x^6-5x^5+5x^4+2x^3+7x^2-4x-3\)
\(=(x^2-4x+3)(x^4-x^3-2x^2-3x+1)+9x-6\)
\(A\)と\(E\)は可換なので、
\(A^6-5A^5+5A^4+2A^3+7A^2-4A-3E\)
\(=9A-6E\)
\(=9\begin{pmatrix}7 & -6 \\ 4 & -3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6 & 0 \\ 0 & 6\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}57 & -54 \\ 36 & -33\end{pmatrix}\)
\(A^2-4A+3E=O\)
ここで、\(x^6-5x^5+5x^4+2x^3+7x^2-4x-3\)
を\(x^2-4x+3\)で割ると
\(x^6-5x^5+5x^4+2x^3+7x^2-4x-3\)
\(=(x^2-4x+3)(x^4-x^3-2x^2-3x+1)+9x-6\)
\(A\)と\(E\)は可換なので、
\(A^6-5A^5+5A^4+2A^3+7A^2-4A-3E\)
\(=9A-6E\)
\(=9\begin{pmatrix}7 & -6 \\ 4 & -3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6 & 0 \\ 0 & 6\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}57 & -54 \\ 36 & -33\end{pmatrix}\)
(2)\(A=\begin{pmatrix}3 & 1 & 7 \\ 5 & 2 & -4\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}2 & -3 \\ 3 & 6 \\ 4 & 1\end{pmatrix}\)
\(AB=\begin{pmatrix}37 & 4 \\ 0 & -7\end{pmatrix}\)
\(BA=\begin{pmatrix}-9 & -4 & 26 \\ 39 & 15 & -3 \\ 17 & 6 & 24\end{pmatrix}\)
\(BA=\begin{pmatrix}-9 & -4 & 26 \\ 39 & 15 & -3 \\ 17 & 6 & 24\end{pmatrix}\)
2.次の行列\(A=\begin{pmatrix}2 & 3 & 0 \\ 1 & 4 & 1 \\ 2 & 0 & 1\end{pmatrix}\)に対して、次の値を求めなさい。
(1)\(A^2-5A+6E_3\)
\(=(A-2E_3)(A-3E_3)\)
\(=\begin{pmatrix}0 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -2\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}3 & 3 & 3 \\ 3 & 5 & 0 \\ -4 & 6 & 2\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}0 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -2\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}3 & 3 & 3 \\ 3 & 5 & 0 \\ -4 & 6 & 2\end{pmatrix}\)
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