【中学2年数学】5-1 三角形｜問題集
1.角の大きさをそれぞれ求めなさい。
(1)
\(∠x=48°\)
(2)
\(∠x=36°\)
2.△ABCはAB=ACの二等辺三角形で、BD=CEのとき、AD=AEを証明しなさい。
【証明】
△ABDと△ACEにおいて、
・AB=AC(仮定より)
・BD=CE(仮定より)
・∠ABD=∠ACE(二等辺三角形の底角)
\(2\)辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABD\(\equiv\)△ACE
合同な三角形ならば、対応する辺は等しいので
AD=AE
△ABDと△ACEにおいて、
・AB=AC(仮定より)
・BD=CE(仮定より)
・∠ABD=∠ACE(二等辺三角形の底角)
\(2\)辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABD\(\equiv\)△ACE
合同な三角形ならば、対応する辺は等しいので
AD=AE
3.△ABCと△ECDが正三角形のとき、△BECと△ADCが合同になることを証明しなさい。
【証明】
△BECと△ADCにおいて、
・BC=AC(正三角形の\(1\)辺)
・EC=DC(正三角形の\(1\)辺)
・∠BCE=∠ACD(正三角形の\(1\)角)
\(2\)辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△BEC\(\equiv\)△ADC
△BECと△ADCにおいて、
・BC=AC(正三角形の\(1\)辺)
・EC=DC(正三角形の\(1\)辺)
・∠BCE=∠ACD(正三角形の\(1\)角)
\(2\)辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△BEC\(\equiv\)△ADC
4.辺BCの中点をMとし、MD=ME,DB=ECのとき、△ABCは二等辺三角形になることを証明しなさい。
【証明】
△DBMと△ECMにおいて、
・MD=ME(仮定より)
・DB=EC(仮定より)
・BM=CM(MはBCの中点)
\(3\)辺がそれぞれ等しいので
△DBM\(\equiv\)△ECM
合同な三角形ならば、対応する角は等しいので、
∠DBM=∠ECM
△ABCは\(2\)角が等しいので、二等辺三角形となる。
△DBMと△ECMにおいて、
・MD=ME(仮定より)
・DB=EC(仮定より)
・BM=CM(MはBCの中点)
\(3\)辺がそれぞれ等しいので
△DBM\(\equiv\)△ECM
合同な三角形ならば、対応する角は等しいので、
∠DBM=∠ECM
△ABCは\(2\)角が等しいので、二等辺三角形となる。
5.△ABCは二等辺三角形でBD=CEのとき、△FBCは二等辺三角形になることを証明しなさい。
【証明】
△DBCと△ECBにおいて、
・BC=CB(共通)
・BD=CE(仮定より)
・∠DBC=∠ECB(二等辺三角形の底角は等しい)
\(2\)辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△DBC\(\equiv\)△ECB
合同な三角形ならば、対応する角は等しいので、
∠FCB=∠FBC
△FBCは\(2\)角が等しいので、二等辺三角形となる。
△DBCと△ECBにおいて、
・BC=CB(共通)
・BD=CE(仮定より)
・∠DBC=∠ECB(二等辺三角形の底角は等しい)
\(2\)辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△DBC\(\equiv\)△ECB
合同な三角形ならば、対応する角は等しいので、
∠FCB=∠FBC
△FBCは\(2\)角が等しいので、二等辺三角形となる。
6.∠ACB=90°の直角三角形ABCで辺AB上にAC=ADとなるように点Dをとる。DP⊥ABとなるように辺BC上に点Pをとる。このとき、DP=CPになることを証明しなさい。
【証明】
△APDと△APCにおいて、
・∠ADP=∠ACP=90°(仮定より)
・AP=AP(共通)
・AD=AC(仮定より)
直角三角形の斜辺と他の\(1\)辺がそれぞれ等しいので
△APD\(\equiv\)△APC
合同な三角形ならば、対応する辺は等しいので、
DP=CP
△APDと△APCにおいて、
・∠ADP=∠ACP=90°(仮定より)
・AP=AP(共通)
・AD=AC(仮定より)
直角三角形の斜辺と他の\(1\)辺がそれぞれ等しいので
△APD\(\equiv\)△APC
合同な三角形ならば、対応する辺は等しいので、
DP=CP
7.POが∠AOBの二等分線で∠OAP=∠OBP=90°のとき、AP=BPになることを証明しなさい。
【証明】
△AOPと△BOPにおいて、
・∠OAP=∠OBP=90°(仮定より)
・OP=OP(共通)
・∠AOP=∠BOP(角の二等分線より)
直角三角形の斜辺と\(1\)つの鋭角がそれぞれ等しいので
△AOP\(\equiv\)△BOP
合同な三角形ならば、対応する辺は等しいので、
AP=BP
△AOPと△BOPにおいて、
・∠OAP=∠OBP=90°(仮定より)
・OP=OP(共通)
・∠AOP=∠BOP(角の二等分線より)
直角三角形の斜辺と\(1\)つの鋭角がそれぞれ等しいので
△AOP\(\equiv\)△BOP
合同な三角形ならば、対応する辺は等しいので、
AP=BP
8.△ABCで頂点Bから辺ACに垂線をおろし、その交点をEとする。頂点Cから辺ABに垂線をおろし、その交点をDとする。BD=CEのとき、△ABCは二等辺三角形になることを証明しなさい。
【証明】
△DBCと△ECBにおいて、
・∠CDB=∠BEC=90°(仮定より)
・BC=CB(共通)
・BD=CE(仮定より)
直角三角形の斜辺と他の\(1\)辺がそれぞれ等しいので
△DBC\(\equiv\)△ECB
合同な三角形ならば、対応する角は等しいので、
∠DBC=∠ECB
よって、\(2\)角が等しいので、△ABCは二等辺三角形となる。
△DBCと△ECBにおいて、
・∠CDB=∠BEC=90°(仮定より)
・BC=CB(共通)
・BD=CE(仮定より)
直角三角形の斜辺と他の\(1\)辺がそれぞれ等しいので
△DBC\(\equiv\)△ECB
合同な三角形ならば、対応する角は等しいので、
∠DBC=∠ECB
よって、\(2\)角が等しいので、△ABCは二等辺三角形となる。
9.△ABCはAB=ACの二等辺三角形である。AB⊥CD,AC⊥BEのとき、△FBCが二等辺三角形であることを証明しなさい。
【証明】
△DBCと△ECBにおいて、
・∠CDB=∠BEC=90°(仮定より)
・BC=CB(共通)
・∠DBC=∠ECB(二等辺三角形の底角が等しい)
直角三角形の斜辺と\(1\)つの鋭角がそれぞれ等しいので
△DBC\(\equiv\)△ECB
合同な三角形ならば、対応する角は等しいので、
∠FCB=∠FBC
よって、\(2\)角が等しいので、△FBCは二等辺三角形となる。
△DBCと△ECBにおいて、
・∠CDB=∠BEC=90°(仮定より)
・BC=CB(共通)
・∠DBC=∠ECB(二等辺三角形の底角が等しい)
直角三角形の斜辺と\(1\)つの鋭角がそれぞれ等しいので
△DBC\(\equiv\)△ECB
合同な三角形ならば、対応する角は等しいので、
∠FCB=∠FBC
よって、\(2\)角が等しいので、△FBCは二等辺三角形となる。
10.AB=CB,∠CDB=∠AEB=90°のとき、BD=BEになることを証明しなさい。
【証明】
△ABEと△CBDにおいて、
・∠AEB=∠CDB=90°(仮定より)
・AB=CB(仮定より)
・∠ABE=∠CBD(共通)
直角三角形の斜辺と\(1\)つの鋭角がそれぞれ等しいので
△ABE\(\equiv\)△CBD
合同な三角形ならば、対応する辺は等しいので、
BD=BE
△ABEと△CBDにおいて、
・∠AEB=∠CDB=90°(仮定より)
・AB=CB(仮定より)
・∠ABE=∠CBD(共通)
直角三角形の斜辺と\(1\)つの鋭角がそれぞれ等しいので
△ABE\(\equiv\)△CBD
合同な三角形ならば、対応する辺は等しいので、
BD=BE
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