5-2 四角形(要点)

対辺と対角

四角形の向かい合う辺を対辺、向かい合う角を対角という。

平行四辺形の定義

2組の対辺はそれぞれ平行である。

平行四辺形の定理

2組の対辺はそれぞれ等しい。

2組の対角はそれぞれ等しい。

2組の対角線はそれぞれの中点で交わる。

1組の対辺が平行で長さが等しい。

【例題】平行四辺形ABCDの対角線AC上にAE=CFとなるように点E,Fをとる。このとき、BE=DFとなることを証明しなさい。

【証明】
△ABEと△CDFにおいて、
・AE=CF(仮定より)
・AB=CD(平行四辺形の対辺は等しい)
・∠BAE=∠DCF(AB//CDで錯角は等しい)
2辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABE\(\equiv\)△CDF
合同な三角形ならば、対応する辺は等しいので
BE=DF

ひし形の定義

4つの辺が等しい四角形をひし形という。

ひし形の定理

2本の対角線は垂直に交わる。

長方形の定義

4つの角が等しい四角形を長方形という。

長方形の定理

2本の対角線は長さが等しい。

正方形の定義

4つの辺が等しく、4つの角が等しい四角形を正方形という。

正方形の定理

2本の対角線は垂直に交わり、長さが等しい。

ひし形、長方形は平行四辺形の定義・定理を全て持っている。
正方形は平行四辺形、ひし形、長方形の定理・定義を全て持っている。

【例題】平行四辺形ABCDで2本の対角線が直角に交わっているとき、ABCDはひし形であることを証明しなさい。

【証明】
△ABOと△ADOにおいて、
・BO=DO(平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わる)
・AO=AO(共通)
・∠AOB=∠AOD=90°(仮定より)
2辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABO\(\equiv\)△ADO
合同な三角形ならば、対応する辺は等しいので
AB=AD
平行四辺形の対辺は等しいので、
AB=DC
AD=BC
4つの辺が等しいので、四角形ABCDはひし形である。

平行線の距離

平行な2直線ℓ,mでℓ上の2点A,Bから垂線を引き、直線mとの交点をC,Dとすると、
直線ℓのどこをとってもAC=BDが成り立つ。

平行線と面積

△ACDと△BCDは底辺が共通で、高さが等しいので、面積が等しい。
このとき、△ACD=△BCDと表す。

【例題】次の三角形と等しい面積の三角形を答えなさい。ただし、ℓ//mとする。

(1)△ABC

【答】\(△DBC\)

(2)△ACD

【答】\(△ABD\)

(3)△ABE

【答】\(△DCE\)