【線形代数】2-4-1 正則行列と逆行列｜問題集
1.次の等式を満たす\(n\)次正方行列\(A\)と\(B\)が正則行列かどうか調べ、正則ならばその逆行列を求めなさい。
(1)\(A^2-A+E=O\)
\(A^2-A+E=O\)を変形すると
\(E=-A^2+A=A(-A+E)\)
また、 \(E=-A^2+A=(-A+E)A\)
も成り立つので、\(A\)の逆行列は存在し
\(A^{-1}=-A+E\)
\(E=-A^2+A=A(-A+E)\)
また、 \(E=-A^2+A=(-A+E)A\)
も成り立つので、\(A\)の逆行列は存在し
\(A^{-1}=-A+E\)
(2)\(B^3=E\)
\(B^3=E\)を変形すると
\(BB^2=B^2B=E\)
が成り立つので、\(B\)の逆行列は存在し
\(B^{-1}=B^2\)
\(BB^2=B^2B=E\)
が成り立つので、\(B\)の逆行列は存在し
\(B^{-1}=B^2\)
2.次の等式を満たす行列\(X\)を求めなさい。
(1)\(\begin{pmatrix}1 & 2 \\ -2 & 3\end{pmatrix}X=\begin{pmatrix}3 & 4 \\ 5 & 6\end{pmatrix}\)
\(A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ -2 & 3\end{pmatrix}\)とおくと
\(ad-bc=3-(-4)=7\neq0\)より
\(\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{7}\begin{pmatrix}3 & -2 \\ 2 & 1\end{pmatrix}\)
よって
\(\displaystyle X=\frac{1}{7}\begin{pmatrix}3 & -2 \\ 2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & 4 \\ 5 & 6\end{pmatrix}=\frac{1}{7}\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 11 & 14\end{pmatrix}\)
\(ad-bc=3-(-4)=7\neq0\)より
\(\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{7}\begin{pmatrix}3 & -2 \\ 2 & 1\end{pmatrix}\)
よって
\(\displaystyle X=\frac{1}{7}\begin{pmatrix}3 & -2 \\ 2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & 4 \\ 5 & 6\end{pmatrix}=\frac{1}{7}\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 11 & 14\end{pmatrix}\)
(2)\(X\begin{pmatrix}1 & 2 \\ -2 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & 4 \\ 5 & 6\end{pmatrix}\)
\(A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ -2 & 3\end{pmatrix}\)とおくと
\(ad-bc=3-(-4)=7\neq0\)より
\(\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{7}\begin{pmatrix}3 & -2 \\ 2 & 1\end{pmatrix}\)
よって
\(\displaystyle X=\begin{pmatrix}3 & 4 \\ 5 & 6\end{pmatrix}\frac{1}{7}\begin{pmatrix}3 & -2 \\ 2 & 1\end{pmatrix}=\frac{1}{7}\begin{pmatrix}17 & -2 \\ 27 & -4\end{pmatrix}\)
\(ad-bc=3-(-4)=7\neq0\)より
\(\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{7}\begin{pmatrix}3 & -2 \\ 2 & 1\end{pmatrix}\)
よって
\(\displaystyle X=\begin{pmatrix}3 & 4 \\ 5 & 6\end{pmatrix}\frac{1}{7}\begin{pmatrix}3 & -2 \\ 2 & 1\end{pmatrix}=\frac{1}{7}\begin{pmatrix}17 & -2 \\ 27 & -4\end{pmatrix}\)
3.次の行列が逆行列をもたないような\(a\)の値を求めなさい。
\(\begin{pmatrix}a+2 & a \\ 3 & a\end{pmatrix}\)
\(ad-bc=(a+2)a-3a=a^2-a=0\)より
よって
\(a=0,1\)
よって
\(a=0,1\)
4.\(A=\begin{pmatrix}9 & 4 & 8 \\ -8 & -3 & -8 \\ 4 & 2 & 5\end{pmatrix}\)とおく。
(1)\(A^2-10A=-9E\)であることを証明しなさい。
\(A^2=\begin{pmatrix}81 & 40 & 80 \\ -80 & -39 & -80 \\ 40 & 20 & 41\end{pmatrix}\)
よって
\(A^2-10A\)
\(=\begin{pmatrix}81 & 40 & 80 \\ -80 & -39 & -80 \\ 40 & 20 & 41\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}90 & 40 & 80 \\ -80 & -30 & -80 \\ 40 & 20 & 50\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}-9 & 0 & 0 \\ 0 & -9 & 0 \\ 0 & 0 & -9\end{pmatrix}\)
\(=-9E\)
よって
\(A^2-10A\)
\(=\begin{pmatrix}81 & 40 & 80 \\ -80 & -39 & -80 \\ 40 & 20 & 41\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}90 & 40 & 80 \\ -80 & -30 & -80 \\ 40 & 20 & 50\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}-9 & 0 & 0 \\ 0 & -9 & 0 \\ 0 & 0 & -9\end{pmatrix}\)
\(=-9E\)
(2)\(AX=\begin{pmatrix}-3 & 4 & -18 \\ 5 & -1 & 18 \\ -4 & 1 & -9\end{pmatrix}\)となる行列\(X\)を求めなさい。
\(A^2-10A=-9E\)
\(A(A-10E)=-9E\)
\(\displaystyle A\left\{-\frac{1}{9}(A-10E)\right\}=\left\{-\frac{1}{9}(A-10E)\right\}A=E\)
よって、\(A\)は正則行列で
\(\displaystyle A^{-1}=-\frac{1}{9}(A-10E)=-\frac{1}{9}\begin{pmatrix}-1 & 4 & 8 \\ -8 & -13 & -8 \\ 4 & 2 & -5\end{pmatrix}\)
よって
\(X=A^{-1}\begin{pmatrix}-3 & 4 & -18 \\ 5 & -1 & 18 \\ -4 & 1 & -9\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle =-\frac{1}{9}\begin{pmatrix}-1 & 4 & 8 \\ -8 & -13 & -8 \\ 4 & 2 & -5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-3 & 4 & -18 \\ 5 & -1 & 18 \\ -4 & 1 & -9\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}1 & 0 & -2 \\ 1 & 3 & 2 \\ -2 & -1 & -1\end{pmatrix}\)
\(A(A-10E)=-9E\)
\(\displaystyle A\left\{-\frac{1}{9}(A-10E)\right\}=\left\{-\frac{1}{9}(A-10E)\right\}A=E\)
よって、\(A\)は正則行列で
\(\displaystyle A^{-1}=-\frac{1}{9}(A-10E)=-\frac{1}{9}\begin{pmatrix}-1 & 4 & 8 \\ -8 & -13 & -8 \\ 4 & 2 & -5\end{pmatrix}\)
よって
\(X=A^{-1}\begin{pmatrix}-3 & 4 & -18 \\ 5 & -1 & 18 \\ -4 & 1 & -9\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle =-\frac{1}{9}\begin{pmatrix}-1 & 4 & 8 \\ -8 & -13 & -8 \\ 4 & 2 & -5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-3 & 4 & -18 \\ 5 & -1 & 18 \\ -4 & 1 & -9\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}1 & 0 & -2 \\ 1 & 3 & 2 \\ -2 & -1 & -1\end{pmatrix}\)
5.\(a\)と\(b\)を実数とし、\(A=\begin{pmatrix}a & 3 \\ 2 & b\end{pmatrix}\)とおく。\(x\)を\(y\)を未知数とする方程式
\(A\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ -2\end{pmatrix}\)
が次を満たすような\(a\)と\(b\)に関する必要十分条件を求めなさい。
(1)無限の解をもつ。
\(A\)が逆行列をもつとき、
\(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=A^{-1}\begin{pmatrix}1 \\ -2\end{pmatrix}\)
となり、1つの解が定まる。
また、\(ad-bc=ab-6=0\)のとき、逆行列を持たない。
連立方程式は
\(\left\{\begin{array}{l}ax+3y=1 \\ 2x+by=-2\end{array}\right.\)
無限の解をもつとき、2直線が一致するときなので、
\((a,b)=(-1,-6)\)
\(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=A^{-1}\begin{pmatrix}1 \\ -2\end{pmatrix}\)
となり、1つの解が定まる。
また、\(ad-bc=ab-6=0\)のとき、逆行列を持たない。
連立方程式は
\(\left\{\begin{array}{l}ax+3y=1 \\ 2x+by=-2\end{array}\right.\)
無限の解をもつとき、2直線が一致するときなので、
\((a,b)=(-1,-6)\)
(2)解をもたない。
\(A\)が逆行列をもつとき、
\(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=A^{-1}\begin{pmatrix}1 \\ -2\end{pmatrix}\)
となり、1つの解が定まる。
また、\(ad-bc=ab-6=0\)のとき、逆行列を持たない。
連立方程式は
\(\left\{\begin{array}{l}ax+3y=1 \\ 2x+by=-2\end{array}\right.\)
解をもたないとき、\(A\)が逆行列をもたず2直線が一致しないときなので、
\(ab=6\)かつ\((a,b)\neq(-1,-6)\)
\(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=A^{-1}\begin{pmatrix}1 \\ -2\end{pmatrix}\)
となり、1つの解が定まる。
また、\(ad-bc=ab-6=0\)のとき、逆行列を持たない。
連立方程式は
\(\left\{\begin{array}{l}ax+3y=1 \\ 2x+by=-2\end{array}\right.\)
解をもたないとき、\(A\)が逆行列をもたず2直線が一致しないときなので、
\(ab=6\)かつ\((a,b)\neq(-1,-6)\)
(3)ただ1つの解をもつ。
\(A\)が逆行列をもつとき、
\(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=A^{-1}\begin{pmatrix}1 \\ -2\end{pmatrix}\)
となり、1つの解が定まる。
また、\(ad-bc=ab-6=0\)のとき、逆行列を持たない。
連立方程式は
\(\left\{\begin{array}{l}ax+3y=1 \\ 2x+by=-2\end{array}\right.\)
ただ1つの解をもつとき、\(A\)が逆行列をもつときなので、
\(ab\neq6\)
\(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=A^{-1}\begin{pmatrix}1 \\ -2\end{pmatrix}\)
となり、1つの解が定まる。
また、\(ad-bc=ab-6=0\)のとき、逆行列を持たない。
連立方程式は
\(\left\{\begin{array}{l}ax+3y=1 \\ 2x+by=-2\end{array}\right.\)
ただ1つの解をもつとき、\(A\)が逆行列をもつときなので、
\(ab\neq6\)
6.\(a^2+b^2+c^2=1\)を満たす実数\(a,b,c\)に対して、行列\(A\)を次に定める。
\(A=\begin{pmatrix}0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0\end{pmatrix}\)
(1)\(A^3=-A\)であることを証明しなさい。
\(A^2=\begin{pmatrix}-c^2-b^2 & ab & ac \\ ab & -a^2-c^2 & bc \\ ac & bc & -a^2-b^2\end{pmatrix}\)
\(A^3=\begin{pmatrix}0 & c(a^2+b^2+c^2) & -b(a^2+b^2+c^2) \\ -c(a^2+b^2+c^2) & 0 & a(a^2+b^2+c^2) \\ b(a^2+b^2+c^2) & -a(a^2+b^2+c^2) & 0\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}0 & c & -b \\ -c & 0 & a \\ b & -a & 0\end{pmatrix}\)
\(=-A\)
\(A^3=\begin{pmatrix}0 & c(a^2+b^2+c^2) & -b(a^2+b^2+c^2) \\ -c(a^2+b^2+c^2) & 0 & a(a^2+b^2+c^2) \\ b(a^2+b^2+c^2) & -a(a^2+b^2+c^2) & 0\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}0 & c & -b \\ -c & 0 & a \\ b & -a & 0\end{pmatrix}\)
\(=-A\)
(2)実数\(p\)と\(q\)に対して\(pA+qA^2=O\)ならば、\(p=q=0\)となることを証明しなさい。
両辺に\(A\)をかけると
\(pA^2+qA^3=O\)
\(-qA+pA^2=O\)
すなわち
\((p^2+q^2)A=O\)
ここで\(A\neq O\)なので、\(p^2+q^2=0\)となり、\(p=q=0\)
\(pA^2+qA^3=O\)
\(-qA+pA^2=O\)
すなわち
\((p^2+q^2)A=O\)
ここで\(A\neq O\)なので、\(p^2+q^2=0\)となり、\(p=q=0\)
(3)\(E+sA+tA^2\)が\(E+A+A^2\)の逆行列となるような実数\(s\)と\(t\)の値を求めなさい。
\((E+sA+tA^2)(E+A+A^2)=E\)
\(E+(1+s)A+(1+s+t)A^2+(s+t)A^3+tA^4=E\)
\(E+(1-t)A+(1+s)A^2=E\)
\((1-t)A+(1+s)A^2=O\)
よって
\((s,t)=(-1,1)\)
\(E+(1+s)A+(1+s+t)A^2+(s+t)A^3+tA^4=E\)
\(E+(1-t)A+(1+s)A^2=E\)
\((1-t)A+(1+s)A^2=O\)
よって
\((s,t)=(-1,1)\)
7.行列\(A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}\)は3以上のある自然数\(m\)に対して、\(A^m=O\)とする。
(1)逆行列\(A^{-1}\)は存在しないことを証明しなさい。
逆行列\(A^{-1}\)が存在すると仮定すると、
\(A^{-1}A^m=A^{-1}AA^{m-1}=EA^{m-1}=A^{m-1}=O\)
となる。これを繰り返すと\(E=O\)となるが、これは矛盾する。
よって、逆行列\(A^{-1}\)は存在しない。
\(A^{-1}A^m=A^{-1}AA^{m-1}=EA^{m-1}=A^{m-1}=O\)
となる。これを繰り返すと\(E=O\)となるが、これは矛盾する。
よって、逆行列\(A^{-1}\)は存在しない。
(2)\(A^2=(a+d)A\)を証明しなさい。
逆行列\(A^{-1}\)が存在しないので、
\(ad-bc=O\)
ケーリー・ハミルトンの定理より、
\(A^2-(a+d)A=O\)
よって、\(A^2=(a+d)A\)が成り立つ。
\(ad-bc=O\)
ケーリー・ハミルトンの定理より、
\(A^2-(a+d)A=O\)
よって、\(A^2=(a+d)A\)が成り立つ。
(3)\(A^2=O\)を証明しなさい。
\(k\)を3以上の自然数をとるので、両辺に\(A^{k-2}\)をかけると
\(A^k=(a+d)A^{k-1}\)
この関係式より、
\(A^m=(a+d)^{m-1}A\)
\(A^m=O\)なので、
\((a+d)^{m-1}A=O\)
よって、\(A^2=(a+d)A=O\)が成り立つ。
\(A^k=(a+d)A^{k-1}\)
この関係式より、
\(A^m=(a+d)^{m-1}A\)
\(A^m=O\)なので、
\((a+d)^{m-1}A=O\)
よって、\(A^2=(a+d)A=O\)が成り立つ。
8.実数\(\theta\)に対して、\(R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}\)とおく。
(1)任意の実数\(\alpha\)と\(\beta\)に対して、\(R(\alpha)R(\beta)=R(\alpha+\beta)\)が成り立つことを証明しなさい。
三角関数の加法定理より、
\(R(\alpha)R(\beta)\)
\(=\begin{pmatrix}\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta & -\cos\alpha\sin\beta-\sin\alpha\cos\beta \\ \cos\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta & -\sin\alpha\sin\beta+\cos\alpha\cos\beta \end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}\cos(\alpha+\beta) & -\sin(\alpha+\beta) \\ \sin(\alpha+\beta) & \cos(\alpha+\beta) \end{pmatrix}\)
\(=R(\alpha+\beta)\)
\(R(\alpha)R(\beta)\)
\(=\begin{pmatrix}\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta & -\cos\alpha\sin\beta-\sin\alpha\cos\beta \\ \cos\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta & -\sin\alpha\sin\beta+\cos\alpha\cos\beta \end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}\cos(\alpha+\beta) & -\sin(\alpha+\beta) \\ \sin(\alpha+\beta) & \cos(\alpha+\beta) \end{pmatrix}\)
\(=R(\alpha+\beta)\)
(2)2以上の自然数\(n\)に対して、\(\displaystyle X=R\left(\frac{2\pi}{n}\right)\)とおく。\(X^n\)を求めなさい。
\(R(\alpha)^n=R(n\alpha)\)が成り立つので
\(\displaystyle X^n=R\left(\frac{2\pi}{n}\right)^n\)
\(=R(2\pi)\)
\(=\begin{pmatrix}\cos2\pi & -\sin2\pi \\ \sin2\pi & \cos2\pi \end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\)
\(=E\)
\(\displaystyle X^n=R\left(\frac{2\pi}{n}\right)^n\)
\(=R(2\pi)\)
\(=\begin{pmatrix}\cos2\pi & -\sin2\pi \\ \sin2\pi & \cos2\pi \end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\)
\(=E\)
(3)\((E-X)(E+X+X^2+\cdots+X^{n-1})\)
\(=E-X^n\)
\(=O\)
\(=O\)
(4)\(E+X+X^2+\cdots+X^{n-1}\)
\(E-X=\begin{pmatrix}\displaystyle 1-\cos\frac{2\pi}{n} & \displaystyle \sin\frac{2\pi}{n} \\ \displaystyle -\sin\frac{2\pi}{n} & \displaystyle 1-\cos\frac{2\pi}{n} \end{pmatrix}\)
逆行列をもつか調べる
\(\displaystyle ad-bc=\left(1-\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\sin^2\frac{2\pi}{n}\)
\(\displaystyle =2-2\cos\frac{2\pi}{n}\neq0\)
よって
\(E+X+X^2+\cdots+X^{n-1}=O\)
逆行列をもつか調べる
\(\displaystyle ad-bc=\left(1-\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\sin^2\frac{2\pi}{n}\)
\(\displaystyle =2-2\cos\frac{2\pi}{n}\neq0\)
よって
\(E+X+X^2+\cdots+X^{n-1}=O\)
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