【線形代数】2-5-1 2次正方行列のn乗推測｜要点まとめ
このページでは、大学数学の線形代数で頻出となる「2次正方行列のn乗推測」について解説します。対角行列の性質や、具体的にn=1,2,3...と計算して規則性を見つける解法パターンを、例題付きで分かりやすくまとめています。
2次正方行列のn乗推測
【2次正方行列のn乗推測】
\(n\)を自然数とする。\(A=\begin{pmatrix}a & 0 \\ 0 & b\end{pmatrix}\)に対して、その\(n\)乗は
\(A^n=\begin{pmatrix}a^n & 0 \\ 0 & b^n\end{pmatrix}\)
【例題】次の行列\(A\)に対して、\(A^2,A^3,A^4\)を計算し、\(A^n\)を求めなさい。
\(A=\begin{pmatrix}2 & -1 \\ 3 & -2\end{pmatrix}\)
\(A^2=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}=E\)
すなわち
\(A^3=A^2A=A\)
\(A^4=(A^2)^2=E\)
よって
\(A^n=\left\{\begin{array}{l}A(nが奇数のとき) \\ E(nが偶数のとき)\end{array}\right.\)
すなわち
\(A^3=A^2A=A\)
\(A^4=(A^2)^2=E\)
よって
\(A^n=\left\{\begin{array}{l}A(nが奇数のとき) \\ E(nが偶数のとき)\end{array}\right.\)
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