【線形代数】2-5-2 2次正方行列の対角化｜要点まとめ
このページでは、大学数学の線形代数で重要となる「2次正方行列の対角化」について解説します。固有値・固有ベクトルの求め方や、対角化を利用して行列の$n$乗を計算する基本手順を、例題付きで分かりやすくまとめています。
2次正方行列の対角化
【固有値・固有ベクトル】
\(A\)を2次正方行列とする。スカラー\(k\)が\(A\)の固有値であるとは
\(A\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=k\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix},\ \ \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}\neq\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\)
となるベクトル\(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}\)が存在することである。このとき、\(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}\)を固有値\(k\)に対する固有ベクトルという。
【例題】\(A=\begin{pmatrix}4 & 2 \\ 1 & 3\end{pmatrix},P=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ -1 & 1\end{pmatrix}\)とおく。
(1)\(P\)が正則であることを証明し、逆行列\(P^{-1}\)を求めなさい。
\(ad-bc=1+2=3\neq0\)より\(P\)は正則である。
また、逆行列は
\(\displaystyle P^{-1}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1 & -2 \\ 1 & 1\end{pmatrix}\)
また、逆行列は
\(\displaystyle P^{-1}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1 & -2 \\ 1 & 1\end{pmatrix}\)
(2)\(P^{-1}AP\)を求めなさい。
\(P^{-1}AP\)
\(\displaystyle =\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1 & -2 \\ 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4 & 2 \\ 1 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 \\ -1 & 1\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{3}\begin{pmatrix}6 & 0 \\ 0 & 15\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 5\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1 & -2 \\ 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4 & 2 \\ 1 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 \\ -1 & 1\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{3}\begin{pmatrix}6 & 0 \\ 0 & 15\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 5\end{pmatrix}\)
(3)自然数\(n\)に対して、\(A^n\)を求めなさい。
\(P^{-1}AP=\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 5\end{pmatrix}\)の両辺を\(n\)乗すると、
\((P^{-1}AP)^n=\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 5\end{pmatrix}^n\)
\(P^{-1}A^nP=\begin{pmatrix}2^n & 0 \\ 0 & 5^n\end{pmatrix}\)
よって、
\(A^n=P\begin{pmatrix}2^n & 0 \\ 0 & 5^n\end{pmatrix}P^{-1}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2・5^n+2^n & 2・5^n-2^{n+1} \\ 5^n-2^n & 5^n+2^{n+1}\end{pmatrix}\)
\((P^{-1}AP)^n=\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 5\end{pmatrix}^n\)
\(P^{-1}A^nP=\begin{pmatrix}2^n & 0 \\ 0 & 5^n\end{pmatrix}\)
よって、
\(A^n=P\begin{pmatrix}2^n & 0 \\ 0 & 5^n\end{pmatrix}P^{-1}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2・5^n+2^n & 2・5^n-2^{n+1} \\ 5^n-2^n & 5^n+2^{n+1}\end{pmatrix}\)
【例題】\(A=\begin{pmatrix}2 & -1 \\ -2 & 3\end{pmatrix}\)とおく。
(1)\(A\begin{pmatrix}1 \\ x\end{pmatrix}=k\begin{pmatrix}1 \\ x\end{pmatrix}\)となる実数\(x\)が存在するような\(k\)の2つの値\(k_1,k_2(k_1< k_2)\)を求めなさい。
与式より
\((A-kE)\begin{pmatrix}1 \\ x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\)
左から\((A-kE)^{-1}\)をかけると
\(\begin{pmatrix}1 \\ x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\)
は存在しない。すなわち
\(A-kE=\begin{pmatrix}2-k & -1 \\ -2 & 3-k\end{pmatrix}\)
\(ad-bc=(2-k)(3-k)-2=(k-1)(k-4)=0\)
よって、
\(k_1=1,k_2=4\)
\((A-kE)\begin{pmatrix}1 \\ x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\)
左から\((A-kE)^{-1}\)をかけると
\(\begin{pmatrix}1 \\ x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\)
は存在しない。すなわち
\(A-kE=\begin{pmatrix}2-k & -1 \\ -2 & 3-k\end{pmatrix}\)
\(ad-bc=(2-k)(3-k)-2=(k-1)(k-4)=0\)
よって、
\(k_1=1,k_2=4\)
(2)\(k_1\)と\(k_2\)に対して\(A\begin{pmatrix}1 \\ x_1\end{pmatrix}=k_1\begin{pmatrix}1 \\ x_1\end{pmatrix},\ \ A\begin{pmatrix}1 \\ x_2\end{pmatrix}=k_2\begin{pmatrix}1 \\ x_2\end{pmatrix}\)となる\(x_1,x_2\)の値を求めなさい。
\(k_1=1\)のとき
\((A-E)\begin{pmatrix}1 \\ x_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-x_1 \\ -2+2x_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\)
より\(x_1=1\)
\(k_2=4\)のとき
\((A-4E)\begin{pmatrix}1 \\ x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2-x_2 \\ -2-x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\)
より\(x_2=-2\)
\((A-E)\begin{pmatrix}1 \\ x_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-x_1 \\ -2+2x_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\)
より\(x_1=1\)
\(k_2=4\)のとき
\((A-4E)\begin{pmatrix}1 \\ x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2-x_2 \\ -2-x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\)
より\(x_2=-2\)
(3)\(P=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ x_1 & x_2\end{pmatrix}\)とおくとき、\(P^{-1}AP\)を求めなさい。
\(P=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -2\end{pmatrix}\)より
\(\displaystyle P^{-1}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix}\)
よって、
\(P^{-1}AP=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}3 & 0 \\ 0 & 12\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 4\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle P^{-1}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix}\)
よって、
\(P^{-1}AP=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}3 & 0 \\ 0 & 12\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 4\end{pmatrix}\)
(4)自然数\(n\)に対して、\(A^n\)を求めなさい。
\(P^{-1}AP=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 4\end{pmatrix}\)の両辺を\(n\)乗すると、
\(P^{-1}A^nP=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 4^n\end{pmatrix}\)
よって、
\(A^n=P\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 4^n\end{pmatrix}P^{-1}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{3}\begin{pmatrix}4^n+2 & -4^n+1 \\ -2・4^n+2 & 2・4^n+1\end{pmatrix}\)
\(P^{-1}A^nP=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 4^n\end{pmatrix}\)
よって、
\(A^n=P\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 4^n\end{pmatrix}P^{-1}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{3}\begin{pmatrix}4^n+2 & -4^n+1 \\ -2・4^n+2 & 2・4^n+1\end{pmatrix}\)
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