4-3 比例、反比例の利用(要点)

【例題】束になっている針金がある。この針金の重さを測ると980gだった。また、同じ針金2mの重さを測ると、56gだった。

(1)同じ針金1mの重さは何gか求めなさい。

2mで56gなので、1mで28g
【答】28g

(2)針金x mの重さy gとして、yをxの式で表しなさい。

針金の長さと重さは比例するので、y=axの式で表される。
x=1、y=28を代入すると、
\begin{eqnarray}y &=& 28x\end{eqnarray}

(3)束になっている針金の長さを求めなさい。

y=28xにyに980を代入すると、 \begin{eqnarray}980 &=& 28x \\ x &=& 35\end{eqnarray} 【答】35m

【例題】折り鶴を5人で1000羽折ることにした。

(1)一人当たり何羽折ればよいか求めなさい。

\begin{eqnarray} \frac{1000}{5} &=& 200\end{eqnarray}
【答】200羽

(2)x人でy羽ずつを折るとき、yをxの式で表しなさい。

人数と折り鶴の数は反比例するので、 \begin{eqnarray}y &=& \frac{a}{x}\end{eqnarray} x=5、y=200を代入すると、
\begin{eqnarray}200 &=& \frac{a}{5} \\ a &=& 1000\end{eqnarray} よって、 \begin{eqnarray}y &=& \frac{1000}{x}\end{eqnarray}

(3)8人で折るとき、一人何羽ずつ折ればよいか求めなさい。

xに8を代入すると、 \begin{eqnarray}y &=& \frac{1000}{8} \\ y &=& 125\end{eqnarray} 【答】125羽

【例題】歯車Aの歯数30が毎秒6回転している。この歯車とかみ合う歯車Bの歯数xが毎秒y回転する。

(1)yをxの式で表しなさい。

歯数30の歯車Aが6回転するとき、歯は30×6=180動く。
歯数xの歯車Bがy回転するとき、歯はxy動く。
歯車Aと歯車Bがかみ合ってるいるので、 \begin{eqnarray}xy &=& 180 \\ y &=& \frac{180}{x} \end{eqnarray}

(2)歯車Bの歯数が36のとき、歯車Bは毎秒何回転するか求めなさい。

xに36を代入すると、 \begin{eqnarray}y &=& \frac{180}{36} \\ y &=& 5\end{eqnarray} 【答】5回転

(3)歯車Aが6回転すると、歯車Bがちょうど3回転した。歯車Bの歯数を求めなさい。

yに3を代入すると、 \begin{eqnarray}3 &=& \frac{180}{x} \\ x &=& 60\end{eqnarray} 【答】歯数60

【例題】水槽に水がたまっている。毎分3リットルずつくみ出すと40分で空になる。

(1)毎分xリットルずつくみ出すと、y分で空になるとして、yをxの式で表しなさい。

1分間で3リットルくみ出すと、40分でくみ出す水の量はは3×40=120リットル。
水の量xと時間yは反比例していることから、 \begin{eqnarray}xy &=& 120 \\ y &=& \frac{120}{x} \end{eqnarray}

(2)毎分5リットルずつくみ出すと何分で空になるか求めなさい。

xに5を代入すると、 \begin{eqnarray}y &=& \frac{120}{5} \\ y &=& 24\end{eqnarray} 【答】24分

(3)15分で水槽を空にするには、毎分何リットルずつくみ出せばよいか求めなさい。

yに15を代入すると、 \begin{eqnarray}15 &=& \frac{120}{x} \\ x &=& 8\end{eqnarray} 【答】毎分8リットル

【例題】15リットルのガソリンで180km走る車がある。この車はxリットルのガソリンでy km走る。

(1)yをxの式で表しなさい。

ガソリンの量xと距離yは比例していることから、 \begin{eqnarray}180 &=& 15a \\ a &=& 12 \end{eqnarray} よって、 \begin{eqnarray}y &=& 12x \end{eqnarray}

(2)この車は10リットルのガソリンで何km走るか求めなさい。

xに10を代入すると、 \begin{eqnarray}y &=& 12×10 \\ y &=& 120\end{eqnarray} 【答】120km

(3)270kmの距離を走るには、何リットルのガソリンが必要か求めなさい。

yに270を代入すると、 \begin{eqnarray}270 &=& 12x \\ x &=& \frac{45}{2}\end{eqnarray} 【答】\[\frac{45}{2}リットル\]

【例題】9人ですると、16日かかる仕事があります。

(1)x人で仕事をすると、y日かかるとして、yをxの式で表しなさい。

9人で16日かかる仕事なので、仕事量は9×16=144人日
x人がy日の仕事量はxyなので、 \begin{eqnarray}xy &=& 144 \\ y &=& \frac{144}{x}\end{eqnarray}

(2)この仕事を6日で終わらせるには、何人必要か求めなさい。

yに6を代入すると、 \begin{eqnarray}6 &=& \frac{144}{x} \\ x &=& 24\end{eqnarray} 【答】24人

【例題】兄と弟が同時に家から出て、家から1200m離れた駅へ向かった。家から出てx分後に家から距離y mとして、歩いた様子をグラフにしたものである。

(1)兄と弟それぞれについて、yをxで表しなさい。

兄

(12,1200)をy=axに代入すると、 \begin{eqnarray}1200 &=& 12x \\ x &=& 100\end{eqnarray} よって、 \begin{eqnarray}y &=& 100x \end{eqnarray}

弟

(16,1200)をy=axに代入すると、 \begin{eqnarray}1200 &=& 16x \\ x &=& 75\end{eqnarray} よって、 \begin{eqnarray}y &=& 75x \end{eqnarray}

(2)兄が駅に着いたとき、弟は家から何mのところにいるか求めなさい。

兄が駅に着いたとき、家から出てから12分後なので、x=12を代入すると、 \begin{eqnarray} y &=& 75x \\ y &=& 75×12 \\ y &=& 900\end{eqnarray} 【答】900m

(3)兄と弟が200m離れるのは家から出て何分後か求めなさい。

距離の差が200mなので、 \begin{eqnarray} 100x-75x &=& 200 \\ 25x &=& 200 \\ x &=& 8\end{eqnarray} 【答】8分後

【例題】図のような長方形ABCDがある。点Pは辺AB上を頂点Aから頂点Bへ動く。点Pが頂点Aからx cm進んだ時の三角形ABPの面積をy cm²とする。

(1)yをxで表しなさい。

底辺がAD=10cm、高さがAP=x cmの三角形の面積yになるので、 \begin{eqnarray}y &=& \frac{10x}{2} \\ y &=& 5x\end{eqnarray}

(2)xの変域を不等式で表しなさい。

点PはAからBに動くので、 \[0 \leqq x \leqq 8\]

(3)yの変域を不等式で表しなさい。

x=0のとき、面積y=5×0=0
x=8のとき、面積y=5×8=40 \[0 \leqq y \leqq 40\]