5-3 円とおうぎ形(要点)

【円周率】

\(円周の直径に対する割合を円周率といい、\)
\(円周率のおよその値3.14の代わりに\piを使う。\)

【円周】

\(半径rの円の周の長さをℓとすると、\)
\[ℓ = 2\pi r\]

【面積】

\(半径rの円の面積をSとすると、\)
\[S = \pi r^2\]

【例】半径が6cmのとき、次の問いに答えなさい。

(1)周の長さ

\begin{eqnarray}ℓ &=& 2\pi×6 \\ &=& 12\pi\end{eqnarray} 【答】\(12\pi\ \)cm

(2)面積

\begin{eqnarray}S &=& \pi×6^2 \\ &=& 36\pi\end{eqnarray} 【答】\(36\pi\ \)cm²

【例題】直径が10cmの円周の長さと面積をそれぞれ求めなさい。

直径が10cmなので、半径は5cm。
周の長さ:\(2\pi\)×\(5=10\pi\)
面積:\(\pi\)×\(5^2=25\pi\)
【答】周の長さ:\(10\pi\ \)cm、面積:\(25\pi\ \)cm²

【弧の長さ】

\(半径r、中心角a°のおうぎ形の弧の長さをℓとすると、\)
\[ℓ = 2\pi r×\frac{a}{360}\]

【面積】

\(半径r、中心角a°のおうぎ形の面積をSとすると、\)
\[S = \pi r^2×\frac{a}{360}\]

【例】半径が10cm、中心角が60°のおうぎ形のとき、次の問いに答えなさい。

(1)弧の長さ

\begin{eqnarray}ℓ &=& 2\pi×10×\frac{60}{360} \\ &=& \frac{10}{3}\pi\end{eqnarray} 【答】\(\frac{10}{3}\pi\ \)cm

(2)面積

\begin{eqnarray}S &=& \pi×10^2×\frac{60}{360} \\ &=& \frac{50}{3}\pi\end{eqnarray} 【答】\(\frac{50}{3}\pi\ \)cm²

【例題】半径が3cm、中心角120°のおうぎ形の弧の長さと面積をそれぞれ求めなさい。

弧の長さ:\(2\pi\)×\(3×\frac{120}{360}=2\pi\)
面積:\(\pi\)×\(3^2×\frac{120}{360}=3\pi\)
【答】周の長さ:\(2\pi\ \)cm、面積:\(3\pi\ \)cm²