【線形代数】2-5-3 対角化不可能な2次正方行列｜問題集

与式より
\((A-kE)\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\)
左から\((A-kE)^{-1}\)をかけると
\(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\)
は存在しない。すなわち
\(A-kE=\begin{pmatrix}3-k & -5 \\ 5 & -7-k\end{pmatrix}\)
\(ad-bc=(3-k)(-7-k)+25=(k+2)^2=0\)
\(k=-2\)
固有値\(-2\)が重解なので\(B=A+2E\)とおくと
\(B=\begin{pmatrix}3 & -5 \\ 5 & -7\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 & -5 \\ 5 & -5\end{pmatrix}\)
\(B^2=\begin{pmatrix}5 & -5 \\ 5 & -5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5 & -5 \\ 5 & -5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}=O\)
すなわち
\(B^k=O\ \ (k\geqq2)\)
\(B\)と\(E\)は可換なので、2項展開すると
\(A^n=(B-2E)^n\)
\(\displaystyle =\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_kB^k(-2E)^{n-k}\)
\(={}_{n}\mathrm{C}_0(-2E)^n+{}_{n}\mathrm{C}_1(-2E)^{n-1}B\)
\(=(-2)^nE+n(-2)^{n-1}B\)
\(=\begin{pmatrix}(-2)^n & 0 \\ 0 & (-2)^n\end{pmatrix}+n(-2)^{n-1}\begin{pmatrix}5 & -5 \\ 5 & -5\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}(5n-2)(-2)^{n-1} & -5n(-2)^{n-1} \\ 5n(-2)^{n-1} & (-5n-2)(-2)^{n-1}\end{pmatrix}\)