【線形代数】2-5-2 2次正方行列の対角化｜問題集
1.自然数\(n\)に対して、次の行列\(A^n\)を求めなさい。
(1)\(A=\begin{pmatrix}1 & -2 \\ 1 & 4\end{pmatrix}\)
与式より
\((A-kE)\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\)
左から\((A-kE)^{-1}\)をかけると
\(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\)
は存在しない。すなわち
\(A-kE=\begin{pmatrix}1-k & -2 \\ 1 & 4-k\end{pmatrix}\)
\(ad-bc=(1-k)(4-k)+2=(k-2)(k-3)=0\)
\(k=2,3\)
\(k=2\)のとき
\((A-2E)\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x-2y \\ x+2y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\)
より固有値\(2\)に対する固有ベクトルとして\(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\ -1\end{pmatrix}\)
\(k=3\)のとき
\((A-3E)\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2x-2y \\ x+y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\)
より固有値\(3\)に対する固有ベクトルとして\(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 \\ 1\end{pmatrix}\)
\(A\)の固有値ベクトルを並べて
\(P=\begin{pmatrix}2 & -1 \\ -1 & 1\end{pmatrix}\)
\(P^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}\)
\(P^{-1}AP=\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 3\end{pmatrix}\)
両辺を\(n\)乗すると、
\(P^{-1}A^nP=\begin{pmatrix}2^n & 0 \\ 0 & 3^n\end{pmatrix}\)
よって、
\(A^n=P\begin{pmatrix}2^n & 0 \\ 0 & 3^n\end{pmatrix}P^{-1}\)
\(=\begin{pmatrix}2^{n+1}-3^n & 2^{n+1}-2・3^n \\ -2^n+3^n & -2^n+2・3^n\end{pmatrix}\)
\((A-kE)\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\)
左から\((A-kE)^{-1}\)をかけると
\(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\)
は存在しない。すなわち
\(A-kE=\begin{pmatrix}1-k & -2 \\ 1 & 4-k\end{pmatrix}\)
\(ad-bc=(1-k)(4-k)+2=(k-2)(k-3)=0\)
\(k=2,3\)
\(k=2\)のとき
\((A-2E)\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x-2y \\ x+2y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\)
より固有値\(2\)に対する固有ベクトルとして\(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\ -1\end{pmatrix}\)
\(k=3\)のとき
\((A-3E)\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2x-2y \\ x+y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\)
より固有値\(3\)に対する固有ベクトルとして\(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 \\ 1\end{pmatrix}\)
\(A\)の固有値ベクトルを並べて
\(P=\begin{pmatrix}2 & -1 \\ -1 & 1\end{pmatrix}\)
\(P^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}\)
\(P^{-1}AP=\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 3\end{pmatrix}\)
両辺を\(n\)乗すると、
\(P^{-1}A^nP=\begin{pmatrix}2^n & 0 \\ 0 & 3^n\end{pmatrix}\)
よって、
\(A^n=P\begin{pmatrix}2^n & 0 \\ 0 & 3^n\end{pmatrix}P^{-1}\)
\(=\begin{pmatrix}2^{n+1}-3^n & 2^{n+1}-2・3^n \\ -2^n+3^n & -2^n+2・3^n\end{pmatrix}\)
(2)\(A=\begin{pmatrix}7 & 4 \\ 4 & 1\end{pmatrix}\)
与式より
\((A-kE)\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\)
左から\((A-kE)^{-1}\)をかけると
\(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\)
は存在しない。すなわち
\(A-kE=\begin{pmatrix}7-k & 4 \\ 4 & 1-k\end{pmatrix}\)
\(ad-bc=(7-k)(1-k)-16=(k-9)(k+1)=0\)
\(k=-1,9\)
\(k=-1\)のとき
\((A+E)\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8x+4y \\ 4x+2y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\)
より固有値\(-1\)に対する固有ベクトルとして\(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 \\ 2\end{pmatrix}\)
\(k=9\)のとき
\((A-9E)\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2x+4y \\ 4x-8y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\)
より固有値\(9\)に対する固有ベクトルとして\(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix}\)
\(A\)の固有値ベクトルを並べて
\(P=\begin{pmatrix}2 & -1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle P^{-1}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}2 & 1 \\ -1 & 2\end{pmatrix}\)
\(P^{-1}AP=\begin{pmatrix}9 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}\)
両辺を\(n\)乗すると、
\(P^{-1}A^nP=\begin{pmatrix}9^n & 0 \\ 0 & (-1)^n\end{pmatrix}\)
よって、
\(A^n=P\begin{pmatrix}9^n & 0 \\ 0 & (-1)^n\end{pmatrix}P^{-1}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{5}\begin{pmatrix}4・9^n+(-1)^n & 2・9^n-2・(-1)^n \\ 2・9^n-2・(-1)^n & 9^n+4・(-1)^n\end{pmatrix}\)
\((A-kE)\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\)
左から\((A-kE)^{-1}\)をかけると
\(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\)
は存在しない。すなわち
\(A-kE=\begin{pmatrix}7-k & 4 \\ 4 & 1-k\end{pmatrix}\)
\(ad-bc=(7-k)(1-k)-16=(k-9)(k+1)=0\)
\(k=-1,9\)
\(k=-1\)のとき
\((A+E)\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8x+4y \\ 4x+2y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\)
より固有値\(-1\)に対する固有ベクトルとして\(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 \\ 2\end{pmatrix}\)
\(k=9\)のとき
\((A-9E)\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2x+4y \\ 4x-8y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\)
より固有値\(9\)に対する固有ベクトルとして\(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix}\)
\(A\)の固有値ベクトルを並べて
\(P=\begin{pmatrix}2 & -1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle P^{-1}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}2 & 1 \\ -1 & 2\end{pmatrix}\)
\(P^{-1}AP=\begin{pmatrix}9 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}\)
両辺を\(n\)乗すると、
\(P^{-1}A^nP=\begin{pmatrix}9^n & 0 \\ 0 & (-1)^n\end{pmatrix}\)
よって、
\(A^n=P\begin{pmatrix}9^n & 0 \\ 0 & (-1)^n\end{pmatrix}P^{-1}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{5}\begin{pmatrix}4・9^n+(-1)^n & 2・9^n-2・(-1)^n \\ 2・9^n-2・(-1)^n & 9^n+4・(-1)^n\end{pmatrix}\)
(3)\(A=\begin{pmatrix}2 & 5 \\ 2 & -1\end{pmatrix}\)
与式より
\((A-kE)\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\)
左から\((A-kE)^{-1}\)をかけると
\(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\)
は存在しない。すなわち
\(A-kE=\begin{pmatrix}2-k & 5 \\ 2 & -1-k\end{pmatrix}\)
\(ad-bc=(2-k)(-1-k)-10=(k-4)(k+3)=0\)
\(k=-3,4\)
\(k=-3\)のとき
\((A+3E)\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5x+5y \\ 2x+2y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\)
より固有値\(-3\)に対する固有ベクトルとして\(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ -1\end{pmatrix}\)
\(k=4\)のとき
\((A-4E)\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2x+5y \\ 2x-5y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\)
より固有値\(4\)に対する固有ベクトルとして\(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 \\ 2\end{pmatrix}\)
\(A\)の固有値ベクトルを並べて
\(P=\begin{pmatrix}5 & 1 \\ 2 & -1\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle P^{-1}=\frac{1}{7}\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 2 & -5\end{pmatrix}\)
\(P^{-1}AP=\begin{pmatrix}4 & 0 \\ 0 & -3\end{pmatrix}\)
両辺を\(n\)乗すると、
\(P^{-1}A^nP=\begin{pmatrix}4^n & 0 \\ 0 & (-3)^n\end{pmatrix}\)
よって、
\(A^n=P\begin{pmatrix}4^n & 0 \\ 0 & (-3)^n\end{pmatrix}P^{-1}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{7}\begin{pmatrix}5・4^n+2・(-3)^n & 5・4^n-5・(-3)^n \\ 2・4^n-2・(-3)^n & 2・4^n+5・(-3)^n\end{pmatrix}\)
\((A-kE)\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\)
左から\((A-kE)^{-1}\)をかけると
\(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\)
は存在しない。すなわち
\(A-kE=\begin{pmatrix}2-k & 5 \\ 2 & -1-k\end{pmatrix}\)
\(ad-bc=(2-k)(-1-k)-10=(k-4)(k+3)=0\)
\(k=-3,4\)
\(k=-3\)のとき
\((A+3E)\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5x+5y \\ 2x+2y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\)
より固有値\(-3\)に対する固有ベクトルとして\(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ -1\end{pmatrix}\)
\(k=4\)のとき
\((A-4E)\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2x+5y \\ 2x-5y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\)
より固有値\(4\)に対する固有ベクトルとして\(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 \\ 2\end{pmatrix}\)
\(A\)の固有値ベクトルを並べて
\(P=\begin{pmatrix}5 & 1 \\ 2 & -1\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle P^{-1}=\frac{1}{7}\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 2 & -5\end{pmatrix}\)
\(P^{-1}AP=\begin{pmatrix}4 & 0 \\ 0 & -3\end{pmatrix}\)
両辺を\(n\)乗すると、
\(P^{-1}A^nP=\begin{pmatrix}4^n & 0 \\ 0 & (-3)^n\end{pmatrix}\)
よって、
\(A^n=P\begin{pmatrix}4^n & 0 \\ 0 & (-3)^n\end{pmatrix}P^{-1}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{7}\begin{pmatrix}5・4^n+2・(-3)^n & 5・4^n-5・(-3)^n \\ 2・4^n-2・(-3)^n & 2・4^n+5・(-3)^n\end{pmatrix}\)
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