【線形代数】2-5-4 行列のn乗の応用｜問題集

現在の\(A\)社の契約者数を\(a_0\)、\(B\)社の契約者数を\(b_0\)とし、\(n\)か月後の契約者数をそれぞれ\(a_n,b_n\)とおくと、
\(\left\{\begin{array}{l}a_{n+1}=0.8a_n+0.3b_n \\ b_{n+1}=0.2a_n+0.7b_n\end{array}\right.\)
\(A=\begin{pmatrix}0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7\end{pmatrix}\)とおくと
\(\begin{pmatrix}a_{n+1} \\ b_{n+1}\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}a_n \\ b_n\end{pmatrix}\ \ (n=0,1,2,\cdots)\)
この式より
\((A-kE)\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\)
左から\((A-kE)^{-1}\)をかけると
\(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\)
は存在しない。すなわち
\(A-kE=\begin{pmatrix}0.8-k & 0.3 \\ 0.2 & 0.7-k\end{pmatrix}\)
\(ad-bc=(0.8-k)(0.7-k)-0.06=(k-1)(k-0.5)=0\)
\(k=1,0.5\)
\(k=1\)のとき
\((A-E)\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-0.2x+0.3y \\ 0.2x-0.3y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\)
より固有値\(1\)に対する固有ベクトルとして\(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 \\ 2\end{pmatrix}\)
\(k=0.5\)のとき
\((A-0.5E)\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0.3x+0.3y \\ 0.2x+0.2y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\)
より固有値\(0.5\)に対する固有ベクトルとして\(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 \\ 1\end{pmatrix}\)
\(A\)の固有ベクトルを並べて
\(P=\begin{pmatrix}3 & -1 \\ 2 & 1\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle P^{-1}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}1 & 1 \\ -2 & 3\end{pmatrix}\)
\(P^{-1}AP=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0.5\end{pmatrix}\)
両辺を\(n\)乗すると、
\(P^{-1}A^nP=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0.5^n\end{pmatrix}\)
すなわち、
\(A^n=P\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0.5^n\end{pmatrix}P^{-1}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{5}\begin{pmatrix}3+2・0.5^n & 3-3・0.5^n \\ 2-2・0.5^n & 2+3・0.5^n\end{pmatrix}\)
ゆえに、
\(\displaystyle a_n=\frac{3a_0+3b_0+(2a_0-3b_0)0.5^n}{5}\)
\(\displaystyle b_n=\frac{2a_0+2b_0+(-2a_0+3b_0)0.5^n}{5}\)
長時間経過すると、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\frac{3(a_0+b_0)}{5}\)
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=\frac{2(a_0+b_0)}{5}\)
よって、
\(A\)社と\(B\)社の契約者数の人数比は\(3:2\)に限りなく近づく。