【線形代数】2-5-3 対角化不可能な2次正方行列｜要点まとめ
このページでは、対角化ができない2次正方行列のn乗を計算する手法について解説します。行列を単位行列の定数倍とべき零行列に分解し、二項定理を活用してA^nを効率よく求める手順を例題付きでまとめています。
対角化不可能な2次正方行列
【例題】\(A=\begin{pmatrix}1 & 4 \\ -1 & 5\end{pmatrix}\)とおく。
(1)\(B=A-3E\)とおくとき、\(B^2\)を求めなさい。
\(B=\begin{pmatrix}1 & 4 \\ -1 & 5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3 & 0 \\ 0 & 3\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}-2 & 4 \\ -1 & 2\end{pmatrix}\)
よって、
\(B^2=\begin{pmatrix}-2 & 4 \\ -1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2 & 4 \\ -1 & 2\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\)
\(=O\)
\(=\begin{pmatrix}-2 & 4 \\ -1 & 2\end{pmatrix}\)
よって、
\(B^2=\begin{pmatrix}-2 & 4 \\ -1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2 & 4 \\ -1 & 2\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\)
\(=O\)
(2)自然数\(n\)に対して、\(A^n\)を求めなさい。
\(B\)と\(E\)は可換なので、2項展開すると
\(A^n=(B+3E)^n\)
\(\displaystyle =\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_kB^k(3E)^{n-k}\)
\(\displaystyle =\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_k3^{n-k}B^k\)
ここで\(B^k=O\ \ (k\geqq2)\)なので、
\(={}_{n}\mathrm{C}_03^nE+{}_{n}\mathrm{C}_13^{n-1}B\)
\(=3^nE+3^{n-1}nB\)
\(=\begin{pmatrix}3^n & 0 \\ 0 & 3^n\end{pmatrix}+3^{n-1}n\begin{pmatrix}-2 & 4 \\ -1 & 2\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}(3-2n)3^{n-1} & 4n・3^{n-1} \\ -n・3^{n-1} & (2n+3)3^{n-1}\end{pmatrix}\)
\(A^n=(B+3E)^n\)
\(\displaystyle =\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_kB^k(3E)^{n-k}\)
\(\displaystyle =\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_k3^{n-k}B^k\)
ここで\(B^k=O\ \ (k\geqq2)\)なので、
\(={}_{n}\mathrm{C}_03^nE+{}_{n}\mathrm{C}_13^{n-1}B\)
\(=3^nE+3^{n-1}nB\)
\(=\begin{pmatrix}3^n & 0 \\ 0 & 3^n\end{pmatrix}+3^{n-1}n\begin{pmatrix}-2 & 4 \\ -1 & 2\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}(3-2n)3^{n-1} & 4n・3^{n-1} \\ -n・3^{n-1} & (2n+3)3^{n-1}\end{pmatrix}\)
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