【線形代数】2-5-4 行列のn乗の応用｜要点まとめ
このページでは、行列のn乗を活用して連立漸化式を効率よく解く手法について解説します。漸化式を行列形式で表し、A^nの計算を経て数列の一般項を求める手順を例題付きでまとめています。
行列のn乗の応用
【例題】連立漸化式
\(\left\{\begin{array}{l}a_0=3,\ \ a_{n+1}=a_n-2b_n \\ b_0=2,\ \ b_{n+1}=a_n+4b_n\end{array}\right.(n=0,1,2,\cdots)\)
がある。
(1)数列\(\{a_n\}\)と\(\{b_n\}\)の一般項を求めなさい。
連立漸化式は
\(\begin{pmatrix}a_{n+1} \\ b_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & -2 \\ 1 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_n \\ b_n\end{pmatrix}\)
\(A=\begin{pmatrix}1 & -2 \\ 1 & 4\end{pmatrix}\)とおくと
\(\begin{pmatrix}a_n \\ b_n\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}a_{n-1} \\ b_{n-1}\end{pmatrix}=A^2\begin{pmatrix}a_{n-2} \\ b_{n-2}\end{pmatrix}=\cdots=A^n\begin{pmatrix}a_0 \\ b_0\end{pmatrix}\)
が成り立つ。\(A^n\)を求めると
\(A^n=\begin{pmatrix}2^{n+1}-3^n & 2^{n+1}-2・3^n \\ -2^n+3^n & -2^n+2・3^n\end{pmatrix}\)
すなわち
\(\begin{pmatrix}a_n \\ b_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2^{n+1}-3^n & 2^{n+1}-2・3^n \\ -2^n+3^n & -2^n+2・3^n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 \\ 2\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}5・2^{n+1}-7・3^n \\ -5・2^n+7・3^n\end{pmatrix}\)
よって、
\(a_n=5・2^{n+1}-7・3^n\)
\(b_n=-5・2^n+7・3^n\)
\(\begin{pmatrix}a_{n+1} \\ b_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & -2 \\ 1 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_n \\ b_n\end{pmatrix}\)
\(A=\begin{pmatrix}1 & -2 \\ 1 & 4\end{pmatrix}\)とおくと
\(\begin{pmatrix}a_n \\ b_n\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}a_{n-1} \\ b_{n-1}\end{pmatrix}=A^2\begin{pmatrix}a_{n-2} \\ b_{n-2}\end{pmatrix}=\cdots=A^n\begin{pmatrix}a_0 \\ b_0\end{pmatrix}\)
が成り立つ。\(A^n\)を求めると
\(A^n=\begin{pmatrix}2^{n+1}-3^n & 2^{n+1}-2・3^n \\ -2^n+3^n & -2^n+2・3^n\end{pmatrix}\)
すなわち
\(\begin{pmatrix}a_n \\ b_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2^{n+1}-3^n & 2^{n+1}-2・3^n \\ -2^n+3^n & -2^n+2・3^n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 \\ 2\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}5・2^{n+1}-7・3^n \\ -5・2^n+7・3^n\end{pmatrix}\)
よって、
\(a_n=5・2^{n+1}-7・3^n\)
\(b_n=-5・2^n+7・3^n\)
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