【中学3年数学】3-2 2次方程式の利用｜問題集
1.それぞれを\(2\)乗した数の和が\(25\)になる連続する\(2\)つの自然数がある。この\(2\)つの自然数を求めなさい。
小さい数を\(x\)とすると、
\(x^2+(x+1)^2=25\)
\(x^2+x-12=0\)
\((x+4)(x-3)=0\)
\(x=-4,3\)
\(x\)は自然数なので、\(x=3\)
よって、求める\(2\)数は、\(3\)と\(4\)
【答】\(3\)と\(4\)
\(x^2+(x+1)^2=25\)
\(x^2+x-12=0\)
\((x+4)(x-3)=0\)
\(x=-4,3\)
\(x\)は自然数なので、\(x=3\)
よって、求める\(2\)数は、\(3\)と\(4\)
【答】\(3\)と\(4\)
2.連続する\(3\)つの自然数がある。小さいほうの\(2\)つの自然数の積が、\(3\)つの自然数の和に\(5\)を足したものと等しくなるとき、この\(3\)つの自然数を求めなさい。
一番小さい数を\(x\)とすると、
\(x(x+1)=x+(x+1)+(x+2)+5\)
\(x^2-2x-8=0\)
\((x+2)(x-4)=0\)
\(x=-2,4\)
\(x\)は自然数なので、\(x=4\)
よって、求める\(3\)数は、\(4\)と\(5\)と\(6\)
【答】\(4\)と\(5\)と\(6\)
\(x(x+1)=x+(x+1)+(x+2)+5\)
\(x^2-2x-8=0\)
\((x+2)(x-4)=0\)
\(x=-2,4\)
\(x\)は自然数なので、\(x=4\)
よって、求める\(3\)数は、\(4\)と\(5\)と\(6\)
【答】\(4\)と\(5\)と\(6\)
3.十の位の数が一の位の数よりも\(5\)小さい二桁の自然数がある。一の位の数と十の位の数の積は、この自然数よりも\(13\)小さい。この自然数を求めなさい。
一の位の数を\(x\)とすると、
\(x(x-5)=10(x-5)+x-13\)
\(x^2-16x+63=0\)
\((x-7)(x-9)=0\)
\(x=7,9\)
\(x=7\)のとき、求める自然数は\(27\)
\(x=9\)のとき、求める自然数は\(49\)
【答】\(27\)と\(49\)
\(x(x-5)=10(x-5)+x-13\)
\(x^2-16x+63=0\)
\((x-7)(x-9)=0\)
\(x=7,9\)
\(x=7\)のとき、求める自然数は\(27\)
\(x=9\)のとき、求める自然数は\(49\)
【答】\(27\)と\(49\)
4.面積が\(300\)cm\(^2\)で、横の長さが縦の長さより\(5\)cm長い長方形がある。この長方形の縦の長さを求めなさい。
縦の長さを\(x\)とすると、
\(x(x+5)=300\)
\(x^2+5x-300=0\)
\((x+20)(x-15)=0\)
\(x=-20,15\)
\(x>0\)なので、求める長さは\(x=15\)
【答】\(15\)cm
\(x(x+5)=300\)
\(x^2+5x-300=0\)
\((x+20)(x-15)=0\)
\(x=-20,15\)
\(x>0\)なので、求める長さは\(x=15\)
【答】\(15\)cm
5.縦\(11\)m、横\(14\)mの長方形の土地に、図のように縦横同じ幅の道をつけて、残りの土地を花壇にしたい。花壇の総面積を\(108\)m\(^2\)にするには、道幅は何mにすればよいか答えなさい。
道幅を\(x\)とすると、
\((11-x)(14-x)=108\)
\(x^2-25x+46=0\)
\((x-2)(x-23)=0\)
\(x=2,23\)
道幅は\(11\)mを超えることはないので、\(2\)mとなる。
【答】\(2\)m
\((11-x)(14-x)=108\)
\(x^2-25x+46=0\)
\((x-2)(x-23)=0\)
\(x=2,23\)
道幅は\(11\)mを超えることはないので、\(2\)mとなる。
【答】\(2\)m
6.横の長さが縦の長さより\(3\)cm長い長方形の紙がある。図のように\(4\)隅から\(1\)辺\(3\)cmの正方形を切り取って蓋のない長方形の箱を作ると、体積がを\(84\)cm\(^3\)になった。元の長方形の縦の長さを求めなさい。
縦の長さを\(x\)とすると、
\(3(x-6)(x-3)=84\)
\(x^2-9x-10=0\)
\((x+1)(x-10)=0\)
\(x=-1,10\)
縦の長さは\(x>0\)なので、\(10\)cmとなる。
【答】\(10\)cm
\(3(x-6)(x-3)=84\)
\(x^2-9x-10=0\)
\((x+1)(x-10)=0\)
\(x=-1,10\)
縦の長さは\(x>0\)なので、\(10\)cmとなる。
【答】\(10\)cm
7.図のような正方形ABCDで、点Pは点Aを出発して点Bまで秒速\(1\)cmで辺AB上を移動し、点Qは点Bを出発して点Cまで秒速\(2\)cmで辺BC上を移動する。△PBQの面積が\(21\)cm\(^2\)になるのは、点Pが点Aを出発してから何秒後か求めなさい。
点Pが出発してからの時間を\(x\)とすると、
\(\displaystyle \frac{2x(10-x)}{2}=21\)
\(x^2-10x+21=0\)
\((x-3)(x-7)=0\)
\(x=3,7\)
辺の長さより\(0\leqq x\leqq 5\)なので、\(x=3\)となる。
【答】\(3\)秒後
\(\displaystyle \frac{2x(10-x)}{2}=21\)
\(x^2-10x+21=0\)
\((x-3)(x-7)=0\)
\(x=3,7\)
辺の長さより\(0\leqq x\leqq 5\)なので、\(x=3\)となる。
【答】\(3\)秒後
8.図のような縦\(12\)cm,横\(6\)cmの長方形ABCDで、点Pは頂点Aを出発して点Bまで秒速\(2\)cmで辺AB上を移動し、点QはAと同時に頂点Dを出発して点Aまで秒速\(1\)cmで辺DA上を移動する。点Pから辺BCに平行な直線を引き、辺CDとの交点をRとする。台形PRDQの面積が\(16\)cm\(^2\)になるのは、点Pが点Aを出発してから何秒後か求めなさい。
点Pが出発してからの時間を\(x\)とすると、
\(\displaystyle \frac{2x(x+6)}{2}=16\)
\(x^2+6x-16=0\)
\((x+8)(x-2)=0\)
\(x=-8,2\)
\(x>0\)なので、\(x=2\)となる。
【答】\(2\)秒後
\(\displaystyle \frac{2x(x+6)}{2}=16\)
\(x^2+6x-16=0\)
\((x+8)(x-2)=0\)
\(x=-8,2\)
\(x>0\)なので、\(x=2\)となる。
【答】\(2\)秒後
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