1.それぞれを2乗した数の和が25になる連続する2つの自然数がある。この2つの自然数を求めなさい。
小さい数を\(x\)とすると、
\begin{eqnarray}x^2+(x+1)^2 &=& 25 \\ x^2+x-12 &=& 0 \\ (x+4)(x-3) &=& 0\end{eqnarray}
\[x=-4,x=3\]
\(x\)は自然数なので、\(x=3\)
よって、求める2数は、\(3\)と\(4\)
【答】\(3\)と\(4\)
2.連続する3つの自然数がある。小さいほうの2つの自然数の積が、3つの自然数の和に5を足したものと等しくなるとき、この3つの自然数を求めなさい。
一番小さい数を\(x\)とすると、
\begin{eqnarray}x(x+1) &=& x+(x+1)+(x+2)+5 \\ x^2-2x-8 &=& 0 \\ (x+2)(x-4) &=& 0\end{eqnarray}
\[x=-2,x=4\]
\(x\)は自然数なので、\(x=4\)
よって、求める3数は、\(4\)と\(5\)と\(6\)
【答】\(4\)と\(5\)と\(6\)
3.十の位の数が一の位の数よりも5小さい二桁の自然数がある。一の位の数と十の位の数の積は、この自然数よりも13小さい。この自然数を求めなさい。
一の位の数を\(x\)とすると、
\begin{eqnarray}x(x-5) &=& 10(x-5)+x-13 \\ x^2-16x+63 &=& 0 \\ (x-7)(x-9) &=& 0\end{eqnarray}
\[x=7,x=9\]
\(x=7\)のとき、求める自然数は\(27\)
\(x=9\)のとき、求める自然数は\(49\)
【答】\(27\)と\(49\)
4.面積が\(300cm^2\)で、横の長さが縦の長さより\(5cm\)長い長方形がある。この長方形の縦の長さを求めなさい。
縦の長さを\(x\)とすると、
\begin{eqnarray}x(x+5) &=& 300 \\ x^2+5x-300 &=& 0 \\ (x+20)(x-15) &=& 0\end{eqnarray}
\[x=-20,x=15\]
\(x>0\)なので、求める長さは\(x=15\)
【答】\(15cm\)
5.縦\(11m\)、横\(14m\)の長方形の土地に、図のように縦横同じ幅の道をつけて、残りの土地を花壇にしたい。花壇の総面積を\(108m^2\)にするには、道幅は何\(m\)にすればよい か答えなさい。
道幅を\(x\)とすると、
\begin{eqnarray}(11-x)(14-x) &=& 108 \\ x^2-25x+46 &=& 0 \\ (x-2)(x-23) &=& 0\end{eqnarray}
\[x=2,x=23\]
道幅は\(11m\)を超えることはないので、\(2m\)となる。
【答】\(2m\)
6.横の長さが縦の長さより3cm長い長方形の紙がある。図のように4隅から1辺3cmの正方形を切り取って蓋のない長方形の箱を作ると、体積がを\(84m^3\)になった。元の長方形の縦の長さを求めなさい。
縦の長さを\(x\)とすると、
\begin{eqnarray}3(x-6)(x-3) &=& 84 \\ x^2-9x-10 &=& 0 \\ (x+1)(x-10) &=& 0\end{eqnarray}
\[x=-1,x=10\]
縦の長さは\(x>0\)なので、\(10cm\)となる。
【答】\(10cm\)
7.図のような正方形ABCDで、点Pは点Aを出発して点Bまで秒速1cmで辺AB上を移動し、点Qは点Bを出発して点Cまで秒速2cmで辺BC上を移動する。△PBQの面積が21cm2になるのは、点Pが点Aを出発してから何秒後か求めなさい。
点Pが出発してからの時間を\(x\)とすると、
\begin{eqnarray}\frac{2x(10-x)}{2} &=& 21 \\ x^2-10x+21 &=& 0 \\ (x-3)(x-7) &=& 0\end{eqnarray}
\[x=3,x=7\]
辺の長さより\(0 \leqq x \leqq 5\)なので、\(x=3\)となる。
【答】3秒後
8.図のような縦12cm,横6cmの長方形ABCDで、点Pは頂点Aを出発して点Bまで秒速2cmで辺AB上を移動し、点QはAと同時に頂点Dを出発して点Aまで秒速1cmで辺DA上を移動する。点Pから辺BCに平行な直線を引き、辺CDとの交点をRとする。台形PRDQの面積が16cm2になるのは、点Pが点Aを出発してから何秒後か求めなさい。
点Pが出発してからの時間を\(x\)とすると、
\begin{eqnarray}\frac{2x(x+6)}{2} &=& 16 \\ x^2+6x-16 &=& 0 \\ (x+8)(x-2) &=& 0\end{eqnarray}
\[x=-8,x=2\]
\(x>0\)なので、\(x=2\)となる。
【答】2秒後