【中学3年数学】4-1 2乗に比例する関数｜要点まとめ
このページでは、中学3年数学の「2乗に比例する関数」について解説しています。グラフの基本的な性質、値の増減や変域、変化の割合などを例題つきでわかりやすく整理しました。定期テスト対策や入試に向けた基礎固めに役立ちます。
2乗に比例する関数とは？
【2次関数】
\(y\)は\(x\)の関数で、
\(y=ax^2+b\) (\(a\)は定数)
のように\(y\)が\(x\)の2次式で表されるとき、\(y\)は\(x\)の2次関数であるという。
【例題】\(y\)が\(x\)の\(2\)乗に比例し、\(x=-2\)のとき\(y=24\)
2次関数のグラフの基本
【2次関数のグラフ】
2次関数\(y=ax^2\)のグラフは、原点を頂点とする\(y\)軸について対称な放物線となる。
グラフの特徴
【\(y=ax^2\)のグラフの特徴】
(1)\(a\)の絶対値が大きいほど、グラフの開き方は小さくなる。
(2)\(a>0\)のとき、上に開いた放物線で\(x\)軸の上側にある。
(3)\(a<0\)のとき、下に開いた放物線で\(x\)軸の下側にある。
【例題】次の(1)～(3)に当てはまる関数を(a)～(h)の中から選びなさい。
(a)\(y=2x^2\) (b)\(y=-3x^2\) (c)\(y=4x^2\)
(d)\(y=-2x^2\) (e)\(\displaystyle y=-\frac{1}{3}x^2\) (f)\(\displaystyle y=\frac{1}{4}x^2\)
(g)\(y=-5x^2\) (h)\(\displaystyle y=\frac{2}{3}x^2\)
値の増減
【値の増減】
関数\(y=ax^2\)において、\(a>0\)のとき、次のことがいえる。
\(x\)の値が増加するとき、
\(x<0\)の範囲では、\(y\)の値は減少し、
\(x>0\)の範囲では、\(y\)の値は増加する。
\(x=0\)のとき、\(y\)は最小値0をとる。
関数\(y=ax^2\)において、\(a<0\)のとき、次のことがいえる。
\(x\)の値が増加するとき、
\(x<0\)の範囲では、\(y\)の値は増加し、
\(x>0\)の範囲では、\(y\)の値は減少する。
\(x=0\)のとき、\(y\)は最大値0をとる。
変域
【変域】
グラフを描いたとき、横の範囲が\(x\)の変域、縦の範囲が\(y\)の変域になる。
【例題】それぞれの関数で\(x\)の変域があるとき、\(y\)の変域を求めなさい。
\(x=-6\)のとき、\(y\)の最大値\(18\)
\(x=-2\)のとき、\(y\)の最小値\(2\)
よって、
【答】\(2\leqq y\leqq 18\)
\(x=-8\)のとき、\(y\)の最大値\(16\)
\(x=0\)のとき、\(y\)の最小値\(0\)
よって、
【答】\(0\leqq y\leqq 16\)
\(x=0\)のとき、\(y\)の最大値\(0\)
\(x=4\)のとき、\(y\)の最小値\(-16\)
よって、
【答】\(-16\leqq y\leqq 0\)
2次関数の変化の割合
【2次関数の変化の割合】
変化の割合は次の式で求められる。
変化の割合\(\displaystyle =\frac{yの増加量}{xの増加量}\)
変化の割合はグラフ上の\(2\)点を結ぶ直線の傾きに等しい。
【例題】\(y=3x^2\)についてそれぞれの場合の変化の割合を求めなさい。
\(x=1\)のとき、\(y=3\)
よって、
変化の割合\(\displaystyle =\frac{3-27}{1-(-3)}\)
【答】\(-6\)
\(x=5\)のとき、\(y=75\)
よって、
変化の割合\(\displaystyle =\frac{75-3}{5-1}\)
【答】\(18\)