4-1 2乗に比例する関数(要点)

2次関数

【2次関数】

\(y\)は\(x\)の関数で、 \[y=ax^2+b\ (aは定数)\] のように\(y\)が\(x\)の2次式で表されるとき、\(y\)は\(x\)の2次関数であるという。

【例題】\(y\)が\(x\)の2乗に比例し、\(x=-2\)のとき\(y=24\)

(1)\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

\(y=6x^2\)

(2)\(x=3\)のとき、\(y\)の値を求めよ。

\(y=54\)

【2次関数のグラフ】

2次関数\(y=ax^2\)のグラフは、原点を頂点とする\(y\)軸について対称な放物線となる。

【\(y=ax^2\)のグラフの特徴】

(1)\(a\)の絶対値が大きいほど、グラフの開き方は小さくなる。

(2)\(a>0\)のとき、上に開いた放物線で\(x\)軸の上側にある。

(3)\(a<0\)のとき、下に開いた放物線で\(x\)軸の下側にある。

【例題】次の(1)～(3)に当てはまる関数を(a)～(h)の中から選びなさい。

(a)\(y=2x^2\) (b)\(y=-3x^2\) (c)\(y=4x^2\)
(d)\(y=-2x^2\) (e)\(y=-\frac{1}{3}x^2\) (f)\(y=\frac{1}{4}x^2\)
(g)\(y=-5x^2\) (h)\(y=\frac{2}{3}x^2\)

(1)グラフが\(x\)軸の上側にある。

(a),(c),(f),(h)

(2)グラフが\(y=3x^2\)のグラフと\(x\)軸について対称である。

(b)

(3)グラフの開き方が\(y=x^2\)のグラフより大きい。

(e),(f),(h)

関数\(y=ax^2\)において、\(a>0\)のとき、次のことがいえる。

\(x\)の値が増加するとき、
\(x<0\)の範囲では、\(y\)の値は減少し、
\(x>0\)の範囲では、\(y\)の値は増加する。
\(x=0\)のとき、\(y\)は最小値0をとる。

関数\(y=ax^2\)において、\(a<0\)のとき、次のことがいえる。

\(x\)の値が増加するとき、
\(x<0\)の範囲では、\(y\)の値は増加し、
\(x>0\)の範囲では、\(y\)の値は減少する。
\(x=0\)のとき、\(y\)は最大値0をとる。

グラフを描いたとき、横の範囲が\(x\)の変域、縦の範囲が\(y\)の変域になる。

【例題】それぞれの関数で\(x\)の変域があるとき、\(y\)の変域を求めなさい。

(1)\(y=\frac{1}{2}x^2 (-6 \leqq x \leqq -2)\)

\(-6 \leqq x \leqq -2\)の変域で
\(x=-6\)のとき、\(y\)の最大値18
\(x=-2\)のとき、\(y\)の最小値2
よって、
【答】\(2 \leqq y \leqq 18\)

(2)\(y=\frac{1}{4}x^2 (-8 \leqq x \leqq 4)\)

\(-8 \leqq x \leqq 4\)の変域で
\(x=-8\)のとき、\(y\)の最大値16
\(x=0\)のとき、\(y\)の最小値0
よって、
【答】\(0 \leqq y \leqq 16\)

(3)\(y=-x^2 (-1 \leqq x \leqq 4)\)

\(-1 \leqq x \leqq 4\)の変域で
\(x=0\)のとき、\(y\)の最大値0
\(x=4\)のとき、\(y\)の最小値-16
よって、
【答】\(-16 \leqq y \leqq 0\)

変化の割合は次の式で求められる。 \[変化の割合=\frac{yの増加量}{xの増加量}\] 変化の割合はグラフ上の2点を結ぶ直線の傾きに等しい。

【例題】\(y=3x^2\)についてそれぞれの場合の変化の割合を求めなさい。

(1)\(x\)が-3から1まで変化するとき

\(x=-3\)のとき、\(y=27\)
\(x=1\)のとき、\(y=3\)
よって、
変化の割合\(=\frac{3-27}{1-(-3)}\)
【答】\(-6\)

(2)\(x\)が1から5まで変化するとき

\(x=1\)のとき、\(y=3\)
\(x=5\)のとき、\(y=75\)
よって、
変化の割合\(=\frac{75-3}{5-1}\)
【答】\(18\)