【中学3年数学】7-3 空間図形への利用｜要点まとめ
このページでは、中学3年数学の「三平方の定理を使った空間図形の利用」について解説しています。直方体の対角線、円錐の高さ、正四角錐の高さなど、入試や定期テストでよく出題されるテーマをわかりやすく整理しました。
直方体の対角線
【直方体の対角線】
縦\(a\)、横\(b\)、高さ\(c\)の直方体の対角線BHの長さは
BH\(=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
【例題】それぞれの立体の対角線の長さを求めなさい。
(1)縦\(2\)cm、横\(6\)cm、高さ\(3\)cmの直方体
対角線を\(x\)とすると、
\(x^2=2^2+6^2+3^2\)
\(x^2=49\)
\(x>0\)より
\(x=7\)
よって、\(7\)cm
\(x^2=2^2+6^2+3^2\)
\(x^2=49\)
\(x>0\)より
\(x=7\)
よって、\(7\)cm
(2)\(1\)辺\(4\)cmの立方体
対角線を\(x\)とすると、
\(x^2=4^2+4^2+4^2\)
\(x^2=48\)
\(x>0\)より
\(x=4\sqrt{3}\)
よって、\(4\sqrt{3}\)cm
\(x^2=4^2+4^2+4^2\)
\(x^2=48\)
\(x>0\)より
\(x=4\sqrt{3}\)
よって、\(4\sqrt{3}\)cm
円錐の高さ
【例題】母線の長さが\(17\)cm、底面の半径が\(8\)cmの円錐の高さを求めなさい。
円錐の高さを\(x\)とすると、
\(x^2+8^2=17^2\)
\(x^2=225\)
\(x>0\)より
\(x=15\)
よって、\(15\)cm
\(x^2+8^2=17^2\)
\(x^2=225\)
\(x>0\)より
\(x=15\)
よって、\(15\)cm
正四角錐の高さ
【例題】底面が\(1\)辺\(12\)cmの正方形で、他の辺が\(10\)cmの正四角錐OABCDの高さを求めなさい。
ACの長さを求める。
\(AC^2=12^2+12^2\)
\(AC^2=288\)
\(AC>0\)より
\(AC=12\sqrt{2}\)
AHの長さを求める。
\(\displaystyle AH=\frac{AC}{2}\)
\(AH=6\sqrt{2}\)
HQの長さを求める。
\(HQ^2+(6\sqrt{2})^2=10^2\)
\(HQ^2=28\)
\(HQ>0\)より
\(HQ=2\sqrt{7}\)
よって、\(2\sqrt{7}\)cm
\(AC^2=12^2+12^2\)
\(AC^2=288\)
\(AC>0\)より
\(AC=12\sqrt{2}\)
AHの長さを求める。
\(\displaystyle AH=\frac{AC}{2}\)
\(AH=6\sqrt{2}\)
HQの長さを求める。
\(HQ^2+(6\sqrt{2})^2=10^2\)
\(HQ^2=28\)
\(HQ>0\)より
\(HQ=2\sqrt{7}\)
よって、\(2\sqrt{7}\)cm
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